Бесконечное объединение замкнутых множеств

[finanzmaster]

Известно, что бесконечное объединение замкнутых множеств из R уже не обязательно замкнутое.
Так, в книжке Б. Вулиха - Краткий курс ТФВП приводится такой пример:
(0, 1] = \bigcup_{n=2}^\infty [1/n, 1]

А вот как (строго) доказать, что в результате такого бесконечного объединения получится именно такой полуоткрытый интервал?

Пробовал формально - через предел последовательности 1/n.
Но как-то сам себя не смог убедить, что в результате такого объединения мы получим множество ВСЕХ точек из правой окрестности нуля.

[Someone]

finanzmaster писал(а):

Известно, что бесконечное объединение замкнутых множеств из R уже не обязательно замкнутое.
Так, в книжке Б. Вулиха - Краткий курс ТФВП приводится такой пример:
(0, 1] = \bigcup_{n=2}^\infty [1/n, 1]

А вот как (строго) доказать, что в результате такого бесконечного объединения получится именно такой полуоткрытый интервал?

В чём проблема, собственно говоря? Берём любую точку $x\in(0,1]$. Существует такое натуральное $n>1$, что $\frac{1}{n}<x$. Закончите рассуждение сами.

[finanzmaster]

О, кажется сам и нашел ответ.

Итак - пусть х принадлежит левой части. Тогда он находится справа от 0 на расстоянии, равном |0-x| = x. А это расстояние - есть ничто иное, как сколь угодно малое положительное eps
Значит, по определению предела последовательности, найдется такой номер N, начиная с которого все значения 1/n будут меньше eps. А значит - x принадлежит правой части - причем мало того, бесконечному числу членов, стоящих под знаком объединения

Теперь пусть x принадлежит правой части. Она представляет собой объединение отрезков, координаты ВСЕХ точек которых положительны и не больше 1. Следовательно, х принадлежит и левой части.

[finanzmaster]

Someone, спасибо за участие, в свою очередь, отвечу на Ваш вопрос - в чем проблема.
Она в том, что во всех учебниках слишком много "очевидных" вещей.
Ладно, когда есть у кого спросить - а когда изучаешь самостоятельно (не для того, чтобы зачет сдать и забыть), то порой наступает стопор.
Конечно, книжка, в которой разжевано ВСЕ начисто отучала бы думать, но как компромис - можно было бы сносить доказательства "очевидных" вещей в конец книги, на страницу ответов

[Someone]

finanzmaster писал(а):

Someone, спасибо за участие, в свою очередь, отвечу на Ваш вопрос - в чем проблема.

Это был риторический вопрос.

finanzmaster писал(а):

Она в том, что во всех учебниках слишком много "очевидных" вещей.

Согласен. Две пропущенные подряд тривиальности иногда могут оказаться непреодолимым препятствием. Но в учебниках обычно так не бывает.

[незваный гость]

Одна из моих любимых тривиальностей:
на лекции по матану проф написал $a\,b \ne 0$, подразумевая $\mathbb R$. Один мой знакомый долго не мог понять доказательство. В конце концов, я выяснил - он не понимал, что имелось в виду $a \ne 0 \wedge b \ne 0$. Он был алгебраист.