Дано натуральное

, (

- различные простые делители) обозначим

.

.
Например

Доказать:
1) Существует бесконечно много таких

, что

2) Существует бесконечно много таких

, что

Задача с "THE 4th ROMANIAN MASTER OF MATHEMATICS COMPETITION", №4.
Оригинал(Моё решение)
Во первых

1) Предположим что таких

- ограниченое число, тогда для всех

, которые больше чем наибольшее

, должно выполняться условие:

,

, так как

для всех

. Но тогда

, А значит пара

удовлетворяет условие, что противоречит выбору

и нашему предположению. Значит оно не верно, что и требовалось доказать.
2) Предположим что таких

- ограниченное число, тогда выберем наибольшее

, такое что

. Рассмотрим пару

.

. Значит из предположения

.
Тоесть

. Значит

.
Но

. Значит пара чисел

удовлетворяет условие, но ,так как она очевидно больше выбранной, это противоречит нашему предположению. Значит оно не верно,что и требовалось доказать.
Всё верно?)