найти наиболее выгодную стратегию

[dsmmbrd]

Игрок в покер может играть 2 типа игр:

а) 1 на 1: взнос $X+K_{1}$, выигрыш - либо 0, либо $2X$.
б) турнир 1 на 1 с выбыванием на 4 человек (первая игра: победа - играет вторую игру 1 на 1, поражение - вылетает, ничего не получает; вторая игра: победа - получает приз, поражение - ничего не получает): взнос - $X+K_{2}$, выигрыш - либо 0, либо $4X$.

Игрок выигрывает любой матч (1 на 1) с вероятностью $p$, $q=1-p$. Любой матч длится M минут.

Задача: выбрать более выгодную форму игры, то есть найти в случаях а) и б) средний выигрыш в единицу времени.

В случае а) все элементарно: выигрыш за М минут: $2X*p-(X+K_{1})$

В случае б) элементарного решения я придумать не смог. И решал вот так:

Результатами игр могут быть:
- проигрыш "-1" (в этом случае игрок платит новый взнос) ;
- победа над первым соперником "0" (счет игрока не меняется);
- победа над вторым соперником "1" (игрок получает банк, платит новый взнос).
Рассмотрим марковскую цепь с множеством состояний $S={-1, 0, +1}$.

Цепь однородна по времени. Матрица переходных вероятностей выглядит вот так:

$$ \begin{pmatrix} q & p & 0 \\ q & 0 & p \\ q & p & 0 \end{pmatrix} $$

По предельной теореме для марковских цепей нашел: $\lim_{t \to \infty} p_{ij}(x) $.
Получилось: $\pi_{1}=q; \pi_{2}=\frac{p}{1+p}; \pi_{3}=\frac{p^2}{1+p}$

Правильно ли я понимаю, что это относительные частоты проигрыша, победы над первым соперником, выигрыша, соответственно? Если нет, то какое значение у этих величин?

Если это правильно, то корректно ли следующее: средний выигрыш за M минут составит: $-\pi_{1}*(X+K_{2})+\pi_{3}*(4X-(X+K_{2}))$?

Есть ли решение проще?

Спасибо!