Про дзета функцию Римана

[Андрей АK]

По определению дзета функция есть ряд Дирихле:
$\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,$
Википедия
Но ведь член
$\frac{1}{n^s}$
при отсутствии у $s$ мнимой части, всегда положителен.
Так как же эта функция может давать нули при четных отрицательных $s$?

Например,подставляем $s=-2$:

\zeta(-2) = 1 + 4 + 9 + 16 + \ldots,

[bot]

Вы не всё прочитали - дзета-функция считается с помощью этого ряда только в области $Re s > 1$. Она допускает аналитическое продолжение на всю плоскость и на остальной части плоскости считается иначе - см. функциональное уравнение Римана.

[Sonic86]

Вы не поверите, но ВНЕЗАПНО $\zeta (s)$ на самом деле определена при $\Re s > 1$ . А чтобы дойти до значений $s=-2$ надо знать, что такое аналитическое продолжение. Можете найти себе учебник по ТФКП попроще и прочитать о нем там. Советую обзавестись карманной версией книжки Леонтьев Целые функции, чтобы разобраться с $\xi (s)$ ну и наконец прочесть хотя бы 30 страниц Воронина Карацубы. И тогда будет Вам счастье