Limit with Integration.

[man111]

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n.\int_{-1}^{0}(x+e^x)^ndx$

[Руст]

При больших $n$ вклад в интеграл дает только значения $x=-\frac{y}{n}, y=O(1)$. Соответственно
$ndx=-dy, (x+e^x)^n=(1-(1-e^{-y/n})-y/n)^n=(1+O(\frac 1n))e^{-2y}$.
Отсюда $limit=\int_0^{\infty}e^{-2y}dy=0.5$.

[ewert]

Руст в сообщении #418943 писал(а):

При больших $n$ вклад в интеграл дает только значения $x=-\frac{y}{n}, y=O(1)$.

Ну это, говоря формально, неверно (хотя идея и понятна). Я бы оформил так. Удобнее заменой $t=-x$ перейти к интегралу $n\int\limits_0^{1}(e^{-t}-t)^ndt\sim n\int\limits_0^{1/2}(e^{-t}-t)^ndt$ (откидываем правую половину, чтобы не возиться с отрицательными значениями подынтегральной функции; а можно откинуть, поскольку интеграл по правой половине явно оценивается через убывающую геометрическую прогрессию, а по левой, как потом выяснится, убывает медленнее). Далее, делаем замену $e^{-t}-t=e^{-2y}$; тогда интеграл принимает вид $n\int\limits_0^{a}e^{-2ny}g(y)\,dy$, где $a$ -- некоторая положительная константа, $g(y)=t'(y)$ -- непрерывная ограниченная функция и $g(0)=1$. Последний интеграл заменой $ny=s$ приводится к виду $\int\limits_0^{na}e^{-2s}g(\frac{s}{n})\,ds\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-2s}g(0)\,ds=\frac12$ -- стремится, например, по теореме Лебега, или как угодно.

А вообще-то лучше всего вообще никак не оформлять, а просто сослаться на метод Лапласа.

[man111]

Thanks ewert and pyctr