Идеал в кольце многочленов/Алг. геометрия

[id]

Пусть $k$-алгебраически замкнутое поле.
Для любого полинома $f \in k[x_1,\dots,x_n]$ определено множество его нулей $Z(f) \subset k^n, \ Z(f):=\{ (x_1,\dots,x_n): f((x_1,\dots,x_n)) =0 \}$
Определен так же идеал $I(Z(f)):=\{g \in k[x_1,\dots,x_n]: g|_{Z(f)}=0\}$ в кольце многочленов.

Вопросы
1) Какой можно привести примера многочлена так, чтобы $I(Z(f)) \neq (f)$?
2) Правильно ли я понимаю, что если $f$ неприводим, то $(f)$ прост, значит $(f)$ совпадает со своим радикалом, и значит по т-ме Гильберта о нулях $I(Z(f)) = \sqrt{(f)} = (f)$?

[Xaositect]

2 верно. Более того, если $f$ раскладывается на различные неприводимые множители $f_i$, то гиперповерхность будет объединением гиперповерхностей, соответствующим этим множителям, а $I(Z(f)) = (f_1)\cap(f_2)\cap\dots\cap(f_k) = (f)$.
Так что на вопрос 1 ответом будут вариации на тему $x^2$.

[id]

Тогда еще один вопрос.
Как попроще доказать, что кольцо $k[x,y]/I(Z(xy-1)) = k[x,y]/(xy-1)$ (т.к. $xy-1$ неприводим) не изоморфно кольцу многочленов от одной переменной?
То есть я догадываюсь, что это будет нечто вроде $k$-алгебры, порожденной элементами $x, \frac 1 x$, но это нестрого.

[Ales]

id в сообщении #417929 писал(а):

Как попроще доказать

Может так: два элемента $x$ и $y$, их произведение равно $1$, каждый отличен от константы.

[Leox]

id в сообщении #417929 писал(а):

Тогда еще один вопрос.
Как попроще доказать, что кольцо $k[x,y]/I(Z(xy-1)) = k[x,y]/(xy-1)$ (т.к. $xy-1$ неприводим) не изоморфно кольцу многочленов от одной переменной?

например можно посчитать ряд Гильберта фактор-кольца и сравнить с рядом Гильберта кольца многочленов от одной переменной. Грубо говоря, в $k[x,y]/(xy-1)$ векторное пространство елементов степени $n$ порождается класcами смежности с представителями $[x^n],[y^n]$, то есть двумерно, а в кольце многочленов от одной переменной ето пространство одномерно. Поетому они не изоморфны.

[id]

Leox
Ряд Гильберта? Хм, не встречал раньше такого термина, в книгах под рукой вроде тоже нет (Атья, Эйзенбуд).

Ales
Да, кажется. Только $[x], [y]$, оба обратимы. В кольце многочленов над полем это только константы. При этом все $k[x,y]/(xy-1)$ ими порождается над $k$, что и дает противоречие. Так?

[Leox]

id в сообщении #418444 писал(а):

Leox
Ряд Гильберта? Хм, не встречал раньше такого термина, в книгах под рукой вроде тоже нет (Атья, Эйзенбуд).

Эйзенбуд, стр. 245. Также хорошо описано понятие ряда Пуанкаре в Кострикин, Манин, Лин. Алгебра.

[Ales]

id в сообщении #418444 писал(а):

Да, кажется. Только $[x], [y]$, оба обратимы. В кольце многочленов над полем это только константы. При этом все $k[x,y]/(xy-1)$ ими порождается над $k$, что и дает противоречие. Так?

Думаю, годится как доказательство.

[id]

Спасибо!

[id]

И еще вопросы.
1) Можно как-нибудь просто ручками проверить на простоту идеал в кольце многочленов с заданными порождающими? Например, $(x,y)$ прост, что вроде как ясно. А идеал $(x-y,x-z)$?

2) И как для второго случая и похожих находить радикал?

[Ales]

id в сообщении #418751 писал(а):

1) Можно как-нибудь просто ручками проверить на простоту идеал в кольце многочленов с заданными порождающими? Например, $(x,y)$ прост, что вроде как ясно. А идеал $(x-y,x-z)$?

Скорее всего это то же самое, ведь можно сделать линейную замену переменных.

[Leox]

В фактор-кольце по идеалу не должно быть делителей нуля.
А в общем, скачайте какую-нибудь систему компьютерной алгебры. Они говорят что все указанные идеалы радикальны.

[id]

Leox
Ну да, а для радикальности - отсутствия нильпотентов. Кажется, ручками это делается через базисы Гребнера, почитаю.
В Maple есть, к примеру.

Ales
Да, кажется, работает.

Спасибо!