Двойной интеграл: перемена пределов интегрирования

[guranvir]

Итак исходный пример:
$\iint{x\sin(x+y)dxdy}$
с областью интегрирования D:$0\le{x}\le{\pi}$ $0\le{y}\le{\frac{\pi}{2}}$
Собственно понятно, что если переменной интегрирования сделать игрек для внутреннего интеграла, то {x} выносим во внешний интеграл. В этом случае внутпренний интеграл почти табличный. Вопрос же заключается в том как правильно поменять порядок интегрирования. К сожалению это правильно сделать не удалось. Не могли бы, уважаемые участники форума, разъяснить вопрос о перемене пределов интегрирования

[Sonic86]

А зачем менять порядок интегрирования??? У Вас же самая наипростейшая область! Да чтоб у меня все области такими были...

[guranvir]

Вполне возможно Вы правы, но тогда вопрос, а как взять внутренний интеграл не изменяя порядка

-- Вт мар 01, 2011 08:20:19 --

просто x перед sin всю картину портит

-- Вт мар 01, 2011 08:25:57 --

можно интегрировать по частям. Но просто и тема которую проходили она про изменение порядка да и как то по частям это монструозно

[Sonic86]

Выносите $xdx$ во внешний интеграл и интегрируйте синус во внутреннем.

[guranvir]

Ну так это же и получается уже как раз изменением порядка вобще то. Там же область интегрирования иная будет

[Sonic86]

Не понимаю! Мне то есть вообще нельзя от кратного интеграла к повторным переходить?
Насколько я помню, изменением порядка интегрирования называется преобразование вида "повторный интеграл $\to$ кратный интеграл $\to$ другой повторный интеграл". У нас же первое звено цепи отсутствует, значит это не оно.

-- Вт мар 01, 2011 11:55:16 --

Или если Вы предполагаете некий "канонический вид" повторного интеграла, в котором во внутреннем $dx$, а во внешнем $dy$, то ничего подобного нет - переменные в этом смысле вполне симметричны.

[VPro]

Есть такая штука, теорема Фубини называется. Воспользуйтесь и на ее основании, с легким сердцем, меняйте порядок интегрирования как Вам нужно.

[guranvir]

Sonic86 Ваше уточнение понял
VPro спасибо

[Someone]

guranvir в сообщении #418585 писал(а):

просто x перед sin всю картину портит

Интегрируете "по частям": $\int\limits_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int\limits_a^b v\,du$.
Причём, берёте $u=x$, $dv=\sin(x+y)dx$.