Интеграл

[maxmatem]

Вот надо бы вычислить
$\[ \frac{1} {{20\sqrt \pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {x^2 e^{\frac{{ - (x - 2)^2 }} {{400}}} } dx \] $
Брал по частям, но там какой то ужас.....

[ИСН]

Достаточно знать $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$.

[maxmatem]

ИСН
В смысле?

[ewert]

Не надо по частям. Сделайте сдвиг, чтоб экспонента стала чётной. И посчитайте каждый из трёх появившихся после этого интегралов. А фактически -- двух. А ещё фактическее -- одного, т.к. интеграл с нулевой степенью автоматом сводится к Пуассону, с первой -- будет равен нулю и со второй -- очень быстро приводится к Пуассону очевидным дифференцированием по параметру, сидящему в показателе экспоненты.

[maxmatem]

А если никаких сдвигов не устраивать, можно же без них его взять...

-- Вт мар 01, 2011 01:52:42 --

ИСН

Цитата:

Достаточно знать $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$.

Я знаю чему он равен.

[svv]

Сдвиг -- это подстановка $(x-2)/20=t$, $x=20t+2$, с помощью которой Ваш интеграл и приводится к тем трем, а фактически двум.

[maxmatem]

svv
спасибо, сейчас попробую
Вот если пока без константы перед интегралом то
$\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {(20t + 2)^2 e^{\frac{{ - t^2 }} {{20}}} dt = 800\int\limits_0^\infty {t^2 e^{\frac{{ - t^2 }} {{20}}} dt + 160} } \int\limits_0^\infty {t^{} e^{\frac{{ - t^2 }} {{20}}} dt} + 8\int\limits_0^\infty {e^{\frac{{ - t^2 }} {{20}}} } dt \] $

[svv]

Под экспонентой $-\frac {(x-2)^2} {400}$ = $- \left(\frac {x-2} {20} \right)^2 = - t^2$ (ведь $t=\frac {x-2} {20}$).

И еще, не стоит сводить к пределам от $0$ до $\infty$ (т.е. Вы имели право так подумать, но -- не стоит). В бесконечных пределах эти интегралы "стандартнее", а один из них -- сразу видно, что равен $0$ в силу нечетности (и поэтому его нельзя записывать как $2 \int \limits_0^{+\infty}$).

[maxmatem]

svv
. Ой-ой я в прошлом сообщении полный бред написал(видимо спать уже пара....),

[svv]

Не то сообщение отредактировал, см. предыдущее.
На сегодня всё, иду спать.

[maxmatem]

Я извиняюсь за нелепые ошибки(надо поспать )......осталось просто досчитать
svv
Спасибо.

[ShMaxG]

maxmatem
Добавлю, что то, что требуется посчитать, по сути -- второй момент сл.в., распределенной по $\[N\left( {2,200} \right)\] $. А второй момент -- дисперсия (200) плюс квадрат матожидания (4). Но это скорее так, для проверки, независимое знание.

[svv]

maxmatem, если у Вас интеграл $\int \limits_{-\infty}^{+\infty} t^2 e^{-t^2} dt$ найдется без проблем -- напишите, что-нибудь не получится -- тоже напишите.

[maxmatem]

svv
вот как раз здесь я сделал так
$\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {t^2 e^{ - t^2 } dt = } 2\int\limits_0^\infty {t^2 e^{ - t^2 } dt = } \frac{{\sqrt \pi }} {2} \] $

и спасибо за этот приём, я с его помощью решил много задач по случайным процессам.

[svv]

Я считал по частям. $d(e^{-x^2})=-2xe^{-x^2}dx$. Выделяем это под интегралом:
$\int \limits_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} dx = - \frac 1 2 \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x d(e^{-x^2}) = - {\frac 1 2} [ (x e^{-x^2})|\limits_{-\infty}^{+\infty} - \int \limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx ] = {\frac 1 2} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$