Составление уравнения колебаний

[yerzhik]

ewert в сообщении #418034 писал(а):

yerzhik в сообщении #418028 писал(а):

прямо пропорционально вызывающей его силе,

Беда в том, что Вы не умеете понимать прочитанное. Вот под этими словами: подразумевается, что сила -- к чему приложена?

Ускорение тела (точки) вызывает сила, приложенная к телу (к точке). То есть к массе которая стоит на пружине.

[yerzhik]

VPro в сообщении #418042 писал(а):

Давайте сначала четко зафиксируем исходные положения. Это всегда полезно.
1. Основание неподнвижно и связанная с ней ось X направлена вверх, как это принято в приличном инженерном сообществе. В этих координатах сила тяжести --- отрицательна
2. Массы точечные, а пружины невесомы. Упругие силу линейны и пропорциональны удлинению прижины.
3. Силой сопротивления возникает в самих пружинах (как силы диссипации). Другим источником сил трения может служить сопротивление воздуха, но его, как правило, не учитывают. В первом случае силы сопротивления полагают пропорциональными скорости удлинения пружины (т.е. разности скоростей точек крепления), во втором --- пропорциональными абсолютным скоростям масс.

И, наконец, о главном: уравнения Ньютона в рассматриваемом простейшем случае выписывают для каждой массы отдельно. Никакой суммы масс возникнуть в принципе не может. Так вот просто берете и смотрите: какие силы действуют на данную массу и записываете их с учетом знака.

Кажется, все.

Хорошо, пусть ось X направленна вверх.
1, Тогда, сила тяжести - отрицательная величина. Сила сопротивления пружины - сила упругости, так как она действует против направления силы тяжести, то будет тогда она браться со знаком плюс.
3, Сопротивление воздуха мы не учитываем, но учитываем сопротивление в самих пружинах.
Получается, как вы написали -
силы сопротивления полагают пропорциональными скорости удлинения пружины (т.е. разности скоростей точек крепления)
Скорость удлинения пружины = $x_1'$
То есть, допустим первая пружина идет вверх, удлиняется то есть, а вторая сжимается, тогда скорость второй пружины будет $x_2'$,
а вот первой пружины скорость будет $x_1' - x_2'$ так как скорости высчитываются относительно фиксированных точек, то для верхней пружины необходимо учитывать и ее скорость тоже. Я понял это, спасибо!

Поясните также пожалуйста, я что-то запутался, смещение первой пружины нужно брать относительно точки (масса сверху) в состоянии покоя, когда нету груза как на второй так и на первой пружине? А как насчет смешения второй пружины? Точка покоя находится в точке соединения второй пружины с первой, когда на обеих пружинах нет груза? Или же когда груза нет только сверху?

[ewert]

yerzhik в сообщении #418200 писал(а):

Ускорение тела (точки) вызывает сила, приложенная к телу (к точке). То есть к массе которая стоит на пружине.

Замечательно. Теперь прочитайте первое уравнение ещё раз. Но аккуратно, не пропуская ни одного слова.

[VPro]

Цитата:

Хорошо, пусть ось X направленна вверх.
1, Тогда, сила тяжести - отрицательная величина. Сила сопротивления пружины - сила упругости, так как она действует против направления силы тяжести, то будет тогда она браться со знаком плюс.
3, Сопротивление воздуха мы не учитываем, но учитываем сопротивление в самих пружинах.
Получается, как вы написали -силы сопротивления полагают пропорциональными скорости удлинения пружины (т.е. разности скоростей точек крепления)
Скорость удлинения пружины = $x_1'$ То есть, допустим первая пружина идет вверх, удлиняется то есть, а вторая сжимается, тогда скорость второй пружины будет $x_2'$,
а вот первой пружины скорость будет $x_1' - x_2'$ так как скорости высчитываются относительно фиксированных точек, то для верхней пружины необходимо учитывать и ее скорость тоже. Я понял это, спасибо!

Вот не нужно никаких этих: "идет вверх", "идет вниз". Это здесь ни причем. Удлинение первой пружины (между М1 и М2) есть разность абсолютных коортинат точек крепления (масс), т.е. $x_1 - x_2$, а скорость удлинения - производная от этой разности $x'_1 - x'_2$.
Удлинение второй пружины (между М2 и основанием) - $x_2$. Соответственно скорость - $x'_2$.

Цитата:

Поясните также пожалуйста, я что-то запутался, смещение первой пружины нужно брать относительно точки (масса сверху) в состоянии покоя, когда нету груза как на второй так и на первой пружине? А как насчет смешения второй пружины? Точка покоя находится в точке соединения второй пружины с первой, когда на обеих пружинах нет груза? Или же когда груза нет только сверху?

И еще раз повторю:

(Оффтоп)

Карфаген должен быть разрушен

Вас не должно вообще интересовать "смещение" пружины, "точки покоя" и прочие фантастические понятия, введенные Вами и безмерно обогатившие механику. Для вычисления силы, действующей со стороны пружины на массу нужно знать только удлинение пружины. А это разность координат точек крепления (масс), т.е. $x_1 - x_2$ и $x_2$.

[yerzhik]

Извините, но тогда мне не понятен следующий момент, вы говорите, что достаточно знать только удлинение пружины, которое вычисляется как вы написали

VPro в сообщении #418226 писал(а):

Удлинение первой пружины (между М1 и М2) есть разность абсолютных коортинат точек крепления (масс), т.е. $x_1 - x_2$, ...
Удлинение второй пружины (между М2 и основанием) - $x_2$. Соответственно скорость - $x'_2$.

Вас не должно вообще интересовать "смещение" пружины, "точки покоя" и прочие фантастические понятия, введенные Вами и безмерно обогатившие механику. Для вычисления силы, действующей со стороны пружины на массу нужно знать только удлинение пружины. А это разность координат точек крепления (масс), т.е. $x_1 - x_2$ и $x_2$.

Удлинение второй пружины (между М2 и основанием) - $x_2$. Соответственно скорость - $x'_2$.

Представим, что у нас никаких плиток и грузов сверху не имеется (состояние покоя), соответственно у наших пружин координаты должны быть
на мой взгляд - 0. Но, как вы гвоорите, получается, что удлинение пружины будет, и будет не нулевым, а значит $F = -kx $ не равна нулю.
Мне кажется, что для хорошего понимания мне необходимо также понимать состояние покоя и что такое - удлинение пружины. Собственно это я и хотел узнать, в предыдущем вопросе вам.

[VPro]

Цитата:

Представим, что у нас никаких плиток и грузов сверху не имеется (состояние покоя), соответственно у нашей пружины координата должна быть
на мой взгляд - 0!

1. На мой взгляд, написанное --- полная бессмыслица. Если "никаких плиток и грузов сверху не имеется", то это никакое не "состояние покоя", а другая система, без масс вообще, т.е. система вырожденная. Для нее все написанное не имеет никакого смысла.
2. Еще раз повторю: у пружины нет массы и нет координаты. В этой задаче они не материальны. Есть только упругие силы. Представьте для удобства, что есть две массы висящие в воздухе, поддерживаемые некими упругими силами, которые есть функция от разности координат этих масс. Для Вас даже не важно происхождение этих сил. Выкиньте эти пружины из головы. Мыслите только в терминах масс.

(Оффтоп)

Из любопытства спрошу: где Вы учились, где Вам вложили в голову такую изумительную кашу?

[yerzhik]

VPro в сообщении #418248 писал(а):

Цитата:

Представим, что у нас никаких плиток и грузов сверху не имеется (состояние покоя), соответственно у нашей пружины координата должна быть
на мой взгляд - 0!

1. На мой взгляд, написанное --- полная бессмыслица. Если "никаких плиток и грузов сверху не имеется", то это никакое не "состояние покоя", а другая система, без масс вообще, т.е. система вырожденная. Для нее все написанное не имеет никакого смысла.
2. Еще раз повторю: у пружины нет массы и нет координаты. В этой задаче они не материальны. Есть только упругие силы. Представьте для удобства, что есть две массы висящие в воздухе, поддерживаемые некими упругими силами, которые есть функция от разности координат этих масс. Для Вас даже не важно происхождение этих сил. Выкиньте эти пружины из головы. Мыслите только в терминах масс.

(Оффтоп)

Из любопытства спрошу: где Вы учились, где Вам вложили в голову такую изумительную кашу?

(Оффтоп)

отвечу так - я не учился на конкретно на физика. а школьный курс плохо помню.

1.
Вообще говоря конечно же разница есть, что нету масс на пружинах что они есть, - да это разные задачи и по сути бессмыслица, соглашусь, тут я не прав оказался, извините,

но то что я хотел по сути сказать:
В учебнике по физике вычисляется именно смещение пружины, а смещение - это собственно смещение, относительно точки покоя, когда на пружина успокоилась.
Прошу прощения, я также перепутал состояние покоя, когда на весах нету груза с состоянием, когда система успокоилась и перестала колебаться.

Вы написали, что высчитываете удлинение пружины по абсолютным координатам,
но кажется... все таки правильнее будет высчитывать удлинение относительно точки покоя, или центра колебаний.
И именно для правильного понимания темы, мне очень важно понять подробности, как все это происходит, прежде чем игнорировать эти мелкие детали.

2. Тут я с вами полностью согласен. Но вот для того чтобы разобраться где какой знак должен стоять, я видимо должен понять вообще как все высчитывается. И вообще для полного понимания как мне кажется нужно сперва один раз понять что и как происходит, и потом, поняв, можно переходить уже к пониманию, описанному вами в пункте 2, избавляясь от мелких деталей. Извиняюсь, но стоит видимо признать, что я немного отстаю от вашего понимая...

-- Пн фев 28, 2011 12:04:01 --

Прошу прощения, я перепутал состояние покоя, когда на весах нету груза с состоянием, когда система успокоилась и перестала колебаться.

[VPro]

Хорошо. Давайте поступим так.

Во-первых, забудьте об "центре колебаний", "точке покоя" и прочем. Я настаиваю на этом. Иначе ничего не получится.

Пойдем по более сложному (для меня) пути, но более наглядному. Без всяких формальностей. Для начала убираем силу тяжести. Пусть пока ее нет (например, рассматриваем колебания в горизонтальном направлении). Задаем реальные длины ненагруженных пружин --- $L_1$ и $L_2$. Задаем начальные положения масс: $x_1(0)=L_1+L_2$ и $x_2(0)=L_2$. Очевидно, в этом положении система находится в состоянии покоя. Теперь запишите:
1) чему равно удлинение каждой пружины (через координаты и их начальные значения) и скорости этих удлинений;
2) чему равны силы упругости и силы диссипации;
3) составьте уравнение динамики системы.
Как только я увижу уравнения, продолжим разговор.

[AKM]

Перемещено в физику.

[Ales]

yerzhik в сообщении #417962 писал(а):

Помогите понять, как правильно нужно составить уравнение колебаний для данного случая.

Чтобы не путаться с силами, можно сделать так:
Найти кинетическую энергию.
Найти потенциальную энергию.
Записать лагранжиан.
Получить уравнения Эйлера-Лагранжа.
Добавить трение (сопротивление).

[yerzhik]

VPro в сообщении #418262 писал(а):

Хорошо. Давайте поступим так.

Во-первых, забудьте об "центре колебаний", "точке покоя" и прочем. Я настаиваю на этом. Иначе ничего не получится.

Пойдем по более сложному (для меня) пути, но более наглядному. Без всяких формальностей. Для начала убираем силу тяжести. Пусть пока ее нет (например, рассматриваем колебания в горизонтальном направлении). Задаем реальные длины ненагруженных пружин --- $L_1$ и $L_2$. Задаем начальные положения масс: $x_1(0)=L_1+L_2$ и $x_2(0)=L_2$. Очевидно, в этом положении система находится в состоянии покоя. Теперь запишите:
1) чему равно удлинение каждой пружины (через координаты и их начальные значения) и скорости этих удлинений;
2) чему равны силы упругости и силы диссипации;
3) составьте уравнение динамики системы.
Как только я увижу уравнения, продолжим разговор.

Спасибо за ответ!

1. Пусть $x_1(t), x_2(t)$ обозначают координаты пружин в момент времени $t$.
Удлинение пружины 1:
$\hat{x}_1(t) = x_1(t) - x_2(t) - (x_1(0) - x_2(0) )$
Удлинение пружины 2:
$\hat{x}_2(t) = x_2(t) - x_2(0)$

2.
Силы упругости:
пружина 1:
$k_1 \hat{x}_1(t)$

пружина 2:
$k_2 \hat{x}_2(t)$

Силы диссипации:
Тут я немного не уверен, но думаю так
Сила трения в точке 1, будет противоположена направлению движения тела в точке 1.
Мы имеем скорость изменения координат $x_1(t)$ и $x_2(t)$,
а это $x_1'(t)$ и $x_2'(t)$ соответственно.
Пружина 1:
$-\alpha_1 x_1'(t)$
Пружина 2:
$-\alpha_2 x_2'(t)$
так как нам нужно именно движение масс в точках 1 и 2, то кажется не нужно учитывать скорость в точке 1 относительно скорости в точке 2.
Поправьте пожалуйста, если я не прав...
3. Уравнения:
$M_1 x_1''(t) = -k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_1 x_1'(t)$
$M_2 x_2''(t) = -k_2 \hat{x}_2(t) + k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_2 x_2'(t)$

[yerzhik]

yerzhik в сообщении #418342 писал(а):

3. Уравнения:
$M_1 x_1''(t) = -k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_1 x_1'(t)$
$M_2 x_2''(t) = -k_2 \hat{x}_2(t) + k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_2 x_2'(t)$

С учетом того что вы сказали:
"силы сопротивления полагают пропорциональными скорости удлинения пружины (т.е. разности скоростей точек крепления)"
перепишу следующим образом уравнения:

Скорость удлинения пружин будет такой
$\hat{x}_1(t)' = x_1'(t) - x_2'(t)$
$\hat{x}_2(t)' = x_2'(t)$
3. Уравнения:
$M_1 x_1''(t) = -k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_1 (x_1'(t) - x_2'(t))$
$M_2 x_2''(t) = -k_2 \hat{x}_2(t) + k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_2 x_2'(t)$
Если я конечно не ошибся?
Но почему мы берем именно скорость удлинения пружин, а не просто
$x_1'(t)$ и $x_2'(t)$? Прошу, объясните..

[VPro]

1. Начну с Вашего вопроса:

Цитата:

Но почему мы берем именно скорость удлинения пружин, а не просто
$x'_1$ и $x'_2$ ? Прошу, объясните..

Потому, что рассеяние энергии в пружине конечно же зависит от скорости ее деформации, т.е. от $x'_1-x'_2$. Представьте себе, что $x'_1=x'_2$. Тогда длина пружины не изменяется, а значит и никакой диссипации нет.
Вот если диссипация связана с трением об воздух, тогда конечно, сила трения будет пропорциональна именно $x'_1$ и $x'_2$.

2. Ваши уравнения:

Цитата:

$M_1 x_1''(t) = -k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_1 (x_1'(t) - x_2'(t))$
$M_2 x_2''(t) = -k_2 \hat{x}_2(t) + k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_2 x_2'(t)$

записаны правильно. Давайте теперь внесем все обозначения. Мы получим
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2) +k_1L_1;$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2) +k_2L_2-k_1L_1.$
Это линейные дифференциальные уравнения, на вход которым подаются постоянные возмущения.
Эти уравнения описывают колебания рассматриваемой системы при любых начальных условиях. При этом $x_1(t)$ есть затухающие колебания вокруг положения равновесия $x_1=L_1+L_2$, а $x_2(t)$ --- затухающие колебания вокруг $x_2=L_2$.
В приличном обществе принято, чтобы положение равновесия линейной системы было при $x_1=0$, $x_2=0$. Это легко сделать введя новые переменные $\tilde{x_1}=x_1-(L_1+L_2)$, $\tilde{x_2}=x_2-L_2$.
В дальнейшем мы знак тильды опустим и будем рассматривать систему:
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2);$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2).$

Это и есть та система, которую Вы стремитесь вывести. Пока все понятно?

[ewert]

VPro в сообщении #418427 писал(а):

рассеяние энергии в пружине конечно же зависит от скорости ее деформации

Рассеяние энергии в пружине зависит от очень и очень многого, ну как минимум -- от того, какие волны по этой пружине бегают, так что учитывать это в данной задаче -- вполне бессмысленно.

[VPro]

ewert в сообщении #418483 писал(а):

VPro в сообщении #418427 писал(а):

рассеяние энергии в пружине конечно же зависит от скорости ее деформации

Рассеяние энергии в пружине зависит от очень и очень многого, ну как минимум -- от того, какие волны по этой пружине бегают, так что учитывать это в данной задаче -- вполне бессмысленно.

Как бы там ни было, но диссипацию в таких задачах учитывают и в первом, самом грубом приближении, учитывают именно так. Извините, но Вы затеваете совершенно неуместный здесь разговор.