Составление уравнения колебаний

[yerzhik]

Помогите понять, как правильно нужно составить уравнение колебаний для данного случая.
Пружины соединены последовательно, вертикально.
Между первой и второй пружиной стоит плитка опрделенной массы. на верху второй пружины, которая сверху, стоит груз массы M.


Проверьте пожалуйста, если не ошибаюсь, то уравнение должно быть таким.
$M_1 x_1'' = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 x_1' + M_1 g$
$(M_2+M_1) x_2'' = -k_2(x_2) + (M_1+M_2)g + k_1 (x_1 - x_2) - \alpha_2 x_2'$

Где
$\alpha_1, \alpha_2$ - коэффициенты сопротивления.
$M_1$ - Масса груза
$M_2$ - Масса плитки между пружинами
$k_1, k_2$ - Коэффициенты упругости пружин, ($F = - k x$)

[VPro]

1) Сила сопритивления тоже зависит от относительных скоростей;
2) Сила тяжести имеет отрицательное направление;
3) Во втором уравнении сумме масс взятся неоткуда

[yerzhik]

VPro в сообщении #417979 писал(а):

1) Сила сопритивления тоже зависит от относительных скоростей;
2) Сила тяжести имеет отрицательное направление;
3) Во втором уравнении сумме масс взятся неоткуда

Пункт 1ый я понял.
Но вроде бы я учел скорости в виде $x_1' и x_2'$
2. Почему сила тяжести имеет отрицательное направление?
Ведь она вниз давит, а например сила реакции пружины наоборот давит вверх, сопротивление оказывает грузу.
3. Во втором уравнении сумма масс появляется при $x_2''$
а также при силе тяжести $(M_1 + M_2) g$, да, может сила тяжести во втором уравнении все таки правильнее будет написать - $(M_2) g$? так как сила тяжести первого груза $M_1$ выражается в силе реакции соотв. пружины.
Но что насчет $(M_1 + M_2)x_2''$, почему тут не нужна сумма масс? Ведь уравнение колебаний второй пружины зависит от двух масс? Поясние пожалуйста, почему тут не должно быть суммы?

[ewert]

yerzhik в сообщении #417983 писал(а):

почему тут не нужна сумма масс? Ведь уравнение колебаний второй пружины зависит от двух масс?

Вы для чего конкретно второе уравнение-то пишите?...

yerzhik в сообщении #417983 писал(а):

Почему сила тяжести имеет отрицательное направление?Ведь она вниз давит, а например сила реакции пружины наоборот давит вверх, сопротивление оказывает грузу.

А это с какой стороны посмотреть. Вы от чего иксы-то отсчитываете -- и в какую сторону?...

[yerzhik]

ewert в сообщении #417984 писал(а):

yerzhik в сообщении #417983 писал(а):

почему тут не нужна сумма масс? Ведь уравнение колебаний второй пружины зависит от двух масс?

Вы для чего конкретно второе уравнение-то пишите?...

yerzhik в сообщении #417983 писал(а):

Почему сила тяжести имеет отрицательное направление?Ведь она вниз давит, а например сила реакции пружины наоборот давит вверх, сопротивление оказывает грузу.

А это с какой стороны посмотреть. Вы от чего иксы-то отсчитываете -- и в какую сторону?...

1. Я хочу вывести уравнение колебаний второй пружины. То есть, как она будет колебаться.
2. Я просто думал так, вот пружины стоят в состоянии покоя. и только потом я опускаю массу сверху.
и тогда думаю можно считать плюсом сжатие пружин, и минусом их растяжение..

[ewert]

yerzhik в сообщении #417989 писал(а):

Я хочу вывести уравнение колебаний второй пружины. То есть, как она будет колебаться.

Колеблются не пружины, а грузы.

[yerzhik]

ewert в сообщении #417991 писал(а):

yerzhik в сообщении #417989 писал(а):

Я хочу вывести уравнение колебаний второй пружины. То есть, как она будет колебаться.

Колеблются не пружины, а грузы.

может я не правильно выразился, но например если имеются датчики расчета смещений каждой пружины, то думаю, уравнение как раз это и расчитывает?
А что тогда расчитывает уравнение?

[ewert]

yerzhik в сообщении #417996 писал(а):

А что тогда расчитывает уравнение?

Прочитайте Ваше первое уравнение. Что означает каждое из слагаемых?

[yerzhik]

ewert в сообщении #417998 писал(а):

yerzhik в сообщении #417996 писал(а):

А что тогда расчитывает уравнение?

Прочитайте Ваше первое уравнение. Что означает каждое из слагаемых?

Из слагаемых?
Это силы, влияющие на точки скажем, точка у основания груза , и точка соединения пружины нижней с основанием плиты.
А решение уравнение должно дать соотв. что я хочу получить, то есть смещения каждой пружины по времени.

[ewert]

Забудьте пока про решения. Вот у Вас в первом уравнении справа три слагаемых. Что конкретно означает каждое из них?

[yerzhik]

ewert в сообщении #418015 писал(а):

Забудьте пока про решения. Вот у Вас в первом уравнении справа три слагаемых. Что конкретно означает каждое из них?

$M_1 x_1'' = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 x_1' + M_1 g$
Если смотреть правую часть, то:
первое слагаемое - это $-k_1(x_1-x_2)$
смещение первой пружины умноженное на коэффициент $k_1$.
То есть смещения берутся относительно точки, когда груз не находится на пружине,
получается, что нужно отнять первое от второго смещения, чтобы вычислить конкретно смещение первой (верхней) пружины.
Второе слагаемое - это $\alpha_1 x_1'$
Сила трения, так как оно направлено против направления движения, то берется со знаком минус.
Третье слагаемое - это $ M_1 g$ сила тяжести, которая давит на первую пружину.

Слева стоит произведение массы на ускорение, по закону $F = ma$

[ewert]

yerzhik в сообщении #418019 писал(а):

первое слагаемое - это смещение первой пружины умноженное на коэффициент

По какой причине оно появилось в уравнении? (аналогичный вопрос по всему остальному)

yerzhik в сообщении #418019 писал(а):

Слева стоит произведение массы на ускорение, по закону $F=ma$

Прочитайте этот закон.

[yerzhik]

ewert в сообщении #418025 писал(а):

yerzhik в сообщении #418019 писал(а):

первое слагаемое - это смещение первой пружины умноженное на коэффициент

По какой причине оно появилось в уравнении? (аналогичный вопрос по всему остальному)

yerzhik в сообщении #418019 писал(а):

Слева стоит произведение массы на ускорение, по закону $F=ma$

Прочитайте этот закон.

Они появились, потому что систему вывели из состояния покоя. Например груз бросили вниз на пружину.

Насчет закона, почитал
Второй закон Ньютона утверждает: в инерциальных системах ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).
То есть, ускорение тела равно силам, вызывающим его, деленное на массу тела.
Тогда получается, что в первой точке движется груз массой $M_1$,
и соответственно те силы нужно учесть, которые действуют на него.
Во второй точке, это точка под плиткой, получается, что
на него сверху давит пружина первая и сила тяжести плитки между пружинами.
А также сила реакции второй пружины (нижняя) и сила сопротивления.
Правильно?

[ewert]

yerzhik в сообщении #418028 писал(а):

прямо пропорционально вызывающей его силе,

Беда в том, что Вы не умеете понимать прочитанное. Вот под этими словами: подразумевается, что сила -- к чему приложена?

[VPro]

Давайте сначала четко зафиксируем исходные положения. Это всегда полезно.
1. Основание неподнвижно и связанная с ней ось X направлена вверх, как это принято в приличном инженерном сообществе. В этих координатах сила тяжести --- отрицательна
2. Массы точечные, а пружины невесомы. Упругие силу линейны и пропорциональны удлинению прижины.
3. Силой сопротивления возникает в самих пружинах (как силы диссипации). Другим источником сил трения может служить сопротивление воздуха, но его, как правило, не учитывают. В первом случае силы сопротивления полагают пропорциональными скорости удлинения пружины (т.е. разности скоростей точек крепления), во втором --- пропорциональными абсолютным скоростям масс.

И, наконец, о главном: уравнения Ньютона в рассматриваемом простейшем случае выписывают для каждой массы отдельно. Никакой суммы масс возникнуть в принципе не может. Так вот просто берете и смотрите: какие силы действуют на данную массу и записываете их с учетом знака.

Кажется, все.