Неподвижная точка и определитель

[Gortaur]

В конечномерном векторном пространстве есть два способа проверить единственность решения уравнения

$$u=Tu$$

где $T$ линейный оператор. Можно проверить по теореме о неподвижной точке, тогда все собственные числа этого оператора должны по модулю быть меньше единицы.

А можно использовать уже достаточное и необходимое свойство

$$ \det(I-T)\neq 0$$

то есть что нет собственных чисел, равных единице.

Есть ли другая связь между теоремой о сжимающих отображениях и определителе и есть ли аналог для бесконечномерных пространств?

[ewert]

Gortaur в сообщении #417615 писал(а):

Есть ли другая связь между теоремой о сжимающих отображениях и определителе

Нет вообще никакой связи между сжимаемостью отображения и определителем. Кроме того, нет прямой связи между сжимаемостью и собственными числами.

[Circiter]

2Gortaur
В выражении с детерминантом кажется должно быть обычное равенство (незачеркнутое), я не прав?

-- Вс фев 27, 2011 01:40:58 --

2ewert
Есть какая-то теоремка о том, что если у оператора все собственные числа по-модулю меньше единицы, то оператор -- сжимающий (в некоторой метрике).

[svv]

Circiter, если $\det(I-T) \neq 0$, однородная система $(I-T)u=0$ будет иметь только нулевое решение, а нам того и надо, так как требуется единственность.

[Circiter]

Ещё насчет той теоремки о связи собственных значений и сжимающих свойств; возможны такие рассуждения. Оператор $T$ будет сжимающим если $\rho(Tx,\ Ty)\leqslant\alpha\rho(x,\ y)$ для $\alpha<1$. Определим норму $\|x\|^2\equiv\langle x|x \rangle$ и обозначим $z\equiv x-y$, тогда $\langle Tz|Tz\rangle\leqslant\alpha^2\langle z|z\rangle$. Вектор $z$ может оказаться собственным вектором $T$, соответствующим наибольшему собственному значению $\lambda$, т.е. $Tz=\lambda z$ и, как следствие, $\lambda^2\langle z|z\rangle\leqslant\alpha^2\langle z|z\rangle$. Отсюда $|\lambda|<1$. Как-то так... А вообще там вроде-бы с производной (якобианом) химичат...

2svv

Цитата:

будет иметь только нулевое решение, а нам того и надо, так как требуется единственность.

Вот этого-то я и не могу понять, нафига нам именно тривиальное нулевое решение ($u=0$)? Извиняйте, если глупости горожу. :)

[svv]

Ну, допустим, сначала мы занимались уравнением $Tx=x+b$. У него нашлось нетривиальное решение $x=x_0$. Оно более интересно, так? Теперь нам надо доказать единственность. Удобно положить $x=x_0+u$. Это даст $T x_0 + Tu = x_0 + u + b$. Но так как $T x_0 = x_0 + b$, получаем $Tu = u$. Теперь вместо доказательства, что $x_0$ -- единственное решение $Tx=x+b$, можно доказывать, что $0$ -- единственное решение $Tu=u$. Второе приятнее, Вы не находите?

[ewert]

Circiter в сообщении #417753 писал(а):

Есть какая-то теоремка о том, что если у оператора все собственные числа по-модулю меньше единицы, то оператор -- сжимающий (в некоторой метрике).

Нет, такой теоремки нет: в любой метрике (точнее, относительно любой нормы) найдётся оператор, у которого собственные числа маленькие, а норма -- сколь угодно велика.

Верно другое: спектральный радиус -- это максимум модулей собственных чисел. Из этого следует, что если все собственные числа по модулю меньше единицы, то некоторая степень оператора по норме меньше единицы (при любом выборе нормы) и, значит, является сжимающей. Но вовсе не сам оператор.

[Dan B-Yallay]

А затем уже можно применить теоремку гласящую о том, что если некоторая степень оператора является сжимающим отображением, то у самого оператора есть неподвижная точка.

[Gortaur]

Прошу прощения, что не отвечал - инет был только с телефона, поэтому и опечатка в названии темы.

@ewert
Приведите, пожалуйста, пример оператора со спектральным радиусом меньше единицы, но не являющимся сжимающим (или когда его неподвижная точка не единственна).

Я имел ввиду следующее - в бесконечномерном пространстве мы худо-бедно можем проверить, является ли оператор сжимающим (помните, он линейный) - и тогда получить единственность решения уранвения

$$ u = Tu. $$

Вопрос - есть ли аналог критерия единственности, но уже с определителем, который сам по себе не определен в бесконечномерном пространстве - но может быть, есть что-то похожее?

[ewert]

Gortaur в сообщении #418264 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример оператора со спектральным радиусом меньше единицы, но не являющимся сжимающим (или когда его неподвижная точка не единственна).

Я имел ввиду следующее - в бесконечномерном пространстве мы худо-бедно можем проверить, является ли оператор сжимающим (помните, он линейный) - и тогда получить единственность решения уранвения

У Вас какая-то путаница. Сжимаемость -- это всего лишь достаточное условие единственности решения, причём довольно жёсткое. Малость спектрального радиуса -- это некоторое обобщение этого достаточного условия. А критерий единственности состоит ровно в том, что единица не является собственным числом, не больше и не меньше.

Gortaur в сообщении #418264 писал(а):

Вопрос - есть ли аналог критерия единственности, но уже с определителем, который сам по себе не определен в бесконечномерном пространстве - но может быть, есть что-то похожее?

Определитель в бесконечномерном пространстве имеет смысл для компактных операторов со следом (т.наз. "ядерных"). Но проку от этого с точки зрения единственности мало.

[Gortaur]

Путаницы здесь нет.

Дело в том, что критерий "единица не собственное число" - это несколько тривиально, если не использовать факт что тогда определитель $det(I-T) = 0$ - иначе новый метод проверки единственности отсюда не вытащить.

Можно ли проверить единственность решения данного уравнения не используя сжимаемость оператора в бесконечномерном пространстве? В конечномерном - посчитать определитель. В бесконечномерном как?

[ewert]

Gortaur в сообщении #418276 писал(а):

Можно ли проверить единственность решения данного уравнения не используя сжимаемость оператора в бесконечномерном пространстве? В конечномерном - посчитать определитель.

Это напоминает известную задачу про чайник. Помните?

"-- Как вскипятить воду?
-- Налить воду в чайник и поставить чайник на огонь.
-- А если чайник уже полон?
-- Вылить воду, тем самым задача сводится к предыдущей."

[Gortaur]

Вы процитировали мой вопрос. На него есть три варианта ответа: да, нет, не знаю. Либо Вы не знаете, либо делаете успешные попытки не понять и цитируете меня, хотя вопрос корректен и другие участники отвечали.

[ewert]

Да попросту вычисление определителя -- задача как минимум не менее сложная, чем исследование на разрешимость. Практически как минимум. В конечномерном случае. В бесконечномерном -- тем паче.