Обратная функция

[Simba]

Простой вопрос - верно ли, что если
1)$f:R \rightarrow R$, $f$ - инъективна
2)$f(x)=g(x)$, где $g(x)$ - функция, обратная $f(x)$,
то $f(x)=x$?

[Legioner93]

y=1/x с нулем в x=0

[Joker_vD]

$f(x) = -x$.

Первое условие избыточно: лишь биективные функции обратимы.

[Simba]

Joker_vD в сообщении #414364 писал(а):

.Первое условие избыточно: лишь биективные функции обратимы.

А по-моему для обратимости достаточна инъективность (если я правильно понял: биекция = инъекция+сурьекция).

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Simba в сообщении #414372 писал(а):

А по-моему для обратимости достаточна инъективность

$f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$, действующая по правилу $f\colon x \mapsto \sin x$, не является обратимой.

[Simba]

Joker_vD в сообщении #414381 писал(а):

(Оффтоп)

Simba в сообщении #414372 писал(а):

А по-моему для обратимости достаточна инъективность

$f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$, действующая по правилу $f\colon x \mapsto \sin x$, не является обратимой.

Вопрос: а как же arcsinx? Как раз на этом промежутке sinx обратим (я так думал, во всяком случае )

[Joker_vD]

Ну и чему равен $\arcsin2$? Напоминаю, что обратная функции $f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$ должна иметь вид $g\colon \mathbb R \to \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.

[Sasha2]

Вообще чтобы функция совпала со своей обратной функцией, достаточно (и необходимо), чтобы график ее был симметричен относительно биссектриссы первого и третьего квадрантов. Поэтому таких функций можно нарисовать сколько угодно.

Ну на первый взгляд, кажется что так.

[Simba]

Joker_vD в сообщении #414398 писал(а):

Ну и чему равен $\arcsin2$? Напоминаю, что обратная функции $f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$ должна иметь вид $g\colon \mathbb R \to \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.

Я может и ошибаюсь, но $f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb A \subset R$, т.е. обратная $g\colon \mathbb A \to \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$. В Этом случае $A: [-1;1]$. На сколько я знаю, для того и берется интервал $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ - на этом интервале синус инъективен, к тому же монотонен, поправьте меня если это не так...

[ewert]

Joker_vD в сообщении #414398 писал(а):

Напоминаю, что обратная функции $f\colon \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$ должна иметь вид $g\colon \mathbb R \to \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.

С какой стати-то?

[Joker_vD]

Simba
Ну вот это я и хотел сказать: $\sin\colon\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R$ — необратима, а $\sin\colon\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \to [-1;1]$ — обратима.

ewert в сообщении #417985 писал(а):

С какой стати-то?

По определению обратной функции: Функция $g\colon Y\to X$ называется обратной к $f\colon X\to Y$, если $f\circ g=\mathrm{id}_X$ и $g\circ f = \mathrm{id}_Y$.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #418110 писал(а):

По определению обратной функции:

Т.е. по определению полагаем, что обратимая функция может быть лишь сюръективной. Мало кто так полагает, поскольку это нелепо. Например, тогда получится, что компактный оператор не может иметь обратного; но он же имеет, зараза!

[Joker_vD]

ewert в сообщении #418210 писал(а):

но он же имеет, зараза!

Имеет, только не обратный, а левый обратный.

[ewert]

Левоправость тут не при чём. С какой стороны ни поставь -- он всё равно не будет определён на всём пространстве.