2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Интеграл
Сообщение24.11.2006, 08:50 
Аватара пользователя
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

 
 
 
 
Сообщение24.11.2006, 09:05 
Аватара пользователя
http://integrals.com

 
 
 
 
Сообщение24.11.2006, 09:26 
Аватара пользователя
Так нечестно! :lol:

 
 
 
 
Сообщение24.11.2006, 13:29 
Аватара пользователя
Зато чертовски действенно (в общем случае, не в этом конкретно).
А через элементарные он не выражался бы, даже будь внизу первая степень. Всё лезут какие-то проклятые Erf...

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение24.11.2006, 15:23 
Аватара пользователя
Ну я сначала попробовал на уровне идеи, а потом полез по ссылке. А там оказывается уметь надо - так что ничего я оттуда не узнал, по предложенному там вижу, что неопределённые можно разгибать.
А идея такая - до конца не просчитывал, но вроде всё путём:
1) Домножаю на $e^{-\frac{1}{2}}$ - добавка легко интегрируется.
2) Ввожу множитель $t$ в экспоненте: $e^{t(-x^2 - \frac{1}{2})}$
3) Дважды дифференцирую интеграл по $t$ (вроде всё законно) и уничтожаю знаменатель.
4) Удваиваю интеграл, заменив нижний предел на $-\infty$
5) Возвожу его в квадрат и перехожу к полярным координатам
6) Вроде нет препятствий для вычисления
7) Дважды интегрирую полученное и подставляю $t=1$

P.S. Шаг 4) можно и не выполнять - зачем мне вся плоскость, если и четвертью можно обойтись.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение24.11.2006, 18:01 
Аватара пользователя
bot писал(а):
Ну я сначала попробовал на уровне идеи, а потом полез по ссылке. А там оказывается уметь надо - так что ничего я оттуда не узнал, по предложенному там вижу, что неопределённые можно разгибать.
А идея такая - до конца не просчитывал, но вроде всё путём:
1) Домножаю на $e^{-\frac{1}{2}}$ - добавка легко интегрируется.
2) Ввожу множитель $t$ в экспоненте: $e^{t(-x^2 - \frac{1}{2})}$
3) Дважды дифференцирую интеграл по $t$ (вроде всё законно) и уничтожаю знаменатель.
4) Удваиваю интеграл, заменив нижний предел на $-\infty$
5) Возвожу его в квадрат и перехожу к полярным координатам
6) Вроде нет препятствий для вычисления
7) Дважды интегрирую полученное и подставляю $t=1$

P.S. Шаг 4) можно и не выполнять - зачем мне вся плоскость, если и четвертью можно обойтись.

Обозначив $I(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(x^2+\frac12)}dx}{(x^2+\frac12)^2}$, я получил
$I''(t)=\frac{\sqrt{\pi}}2\frac{e^{-\frac t2}}{\sqrt t}$.
Как Вы это интегрируете, если не секрет?
P.S. Задачка имеет очень простое решение.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение24.11.2006, 18:17 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Обозначив $I(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(x^2+\frac12)}dx}{(x^2+\frac12)^2}$, я получил
$I''(t)=\frac{\sqrt{\pi}}2\frac{e^{-\frac t2}}{\sqrt t}$.

Да, в точности. :D Не просчитал до конца, что получится - я ведь без бумажки прикидывал.

Цитата:
Как Вы это интегрируете, если не секрет?


Облом, стало быть. Не берущийся в неопределённом варианте.

 
 
 
 
Сообщение24.11.2006, 18:26 
Аватара пользователя
Замечательно то, что из всех интегралов вида $I(a,b)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+a)^b}$ с $a>0,b>0$ я умею считать только $I(\frac12,2) $ :o

 
 
 
 
Сообщение24.11.2006, 19:28 
Аватара пользователя
RIP, вот теперь Вы меня заинтриговали по-настоящему.
(Что ответ равен 2\sqrt\pi, понятно, но это ерунда по сравнению с тем, почему).

Добавлено спустя 16 минут 9 секунд:

Upd. Я вижу, каким образом это животное его приводит к чему-то человеческому, но легче мне от этого не стало.

Добавлено спустя 58 секунд:

Не подумайте худа, животное - это детище Вольфрама.

 
 
 
 Ещё интегральчики
Сообщение24.11.2006, 19:38 
Аватара пользователя
Докажите, что
1.$$\int\limits_0^{\infty}\prod_{k=1}^n\frac{k^2}{k^2+x^2}dx=\frac{\pi n}{4n-2}$$
2. $$\int\limits_0^{\infty}\frac{x}{\sh x }dx=\frac{\pi^2}4$$.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение25.11.2006, 09:50 
RIP писал(а):
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

А почему бы не применить комплексное интегрирование? $\frac {i} {\sqrt2}$ - полюс второго порядка, интегрируем по полуокружности в верхней полуплоскости и всё.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение25.11.2006, 13:49 
Аватара пользователя
Юстас писал(а):
RIP писал(а):
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}dx}{(x^2+\frac12)^2}=?$$

А почему бы не применить комплексное интегрирование? $\frac {i} {\sqrt2}$ - полюс второго порядка, интегрируем по полуокружности в верхней полуплоскости и всё.

Проблема с экспонентой в числителе.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2006, 14:21 
А в чём именно проблема? Что-то я видимо недопонимаю.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2006, 14:30 
Аватара пользователя
Интеграл по окружности не будет стремится к нулю.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2006, 15:00 
Всё, понял свою ошибку.

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group