Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени

Возможны два метода доказательства, кроме метода Ферма (бесконечного спуска):
- метод аналогичный методу исследования ВТФ при степени три,
- метод исследования уравненя

, без метода Ферма.
Для доказательства ВТФ используем уравнение

Разложение уравнения
Вводом явной чётности переменных, имеем:



Для доказательства ВТФ необхоимо исследовать первые два уравнения.
Исследование уравнения:![$\[\left( {{\text{2x}}_{\text{1}} } \right)^m = \left( {{\text{2z}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^4 - \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^4 \]$ $\[\left( {{\text{2x}}_{\text{1}} } \right)^m = \left( {{\text{2z}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^4 - \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^4 \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/e/b8e2efb6e57691da0b1ebb9973ec855682.png)
Исследование возможно при использовании частных свойств уравнения.
Применение методов доказательства требуют введения понятий, определяющих некоторые свойства полиномиальных диофантова уравнений:- уравнение неопределённое при значении
- уравнение определённое при значении

- уравнение переопределённое при значении
-

значение степени
-

число неизвестных
При степени

уравнение переопределённое, ибо значение степени

больше числа неизвестных

. Так как число неизвестных два, уравнение определено при двух линейных сомножителях. Решение переопределённого уравнения Ферма возможно, если полученные из двух линейных сомножителей значения переменных в третьем сомножителе дают отвечающее оночлену число степени m. Из сказанного следует, что при одночлене с одним неизвестным и двух неизвестных

показатели степени сомножителей неоднородного уравнения порознь равны m, и можем писать:
![$$\[x_1^m = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1.\]$$ $$\[x_1^m = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1.\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/6/f36860b87ce6c91a056a649ebf067f4c82.png)
Приведением к неоднородному виду, при использовании частных свойств, имеем:
![$$\[{\text{x}}_{\text{1}}^m = \frac{{\left( {2{\text{z}}_{\text{1}} + 1} \right)^4 - \left( {2{\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)^4 }}{{{\text{2}}^m }} = \frac{{\left( {\frac{{2{\text{z}}_{\text{1}} + 1}}
{2}} \right)^4 - \left( {\frac{{2y_{\text{1}} + 1}}{2}} \right)^4 }}
{{{\text{2}}^{m - 4} }} = \]$$ $$\[{\text{x}}_{\text{1}}^m = \frac{{\left( {2{\text{z}}_{\text{1}} + 1} \right)^4 - \left( {2{\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)^4 }}{{{\text{2}}^m }} = \frac{{\left( {\frac{{2{\text{z}}_{\text{1}} + 1}}
{2}} \right)^4 - \left( {\frac{{2y_{\text{1}} + 1}}{2}} \right)^4 }}
{{{\text{2}}^{m - 4} }} = \]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/4/a644833d0ca5daf936a9272d94b1269982.png)
![$$\[ = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}} - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + \frac{1}{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,\]$$ $$\[ = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}} - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + \frac{1}{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/8/0c8ed8d2d29e6b1ceeeb91db26d8548282.png)


На основе 1. и 2. варианта, решений нет, на основе 3. варианта, нет при степени

,

дробь. Слеовательно, по первому методу доказательства уравнение не имеет требуемых решений. Случаи

исследуемы отдельно.
Исследование 3-го варианта решений при степени 
(второй метод доказательства)
Из первых двух уравнений 3-го варианта получаем значения переменных:

![$$\[{\text{ y}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{, y}} = {\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{, z}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{,z}} = {\text{2z}}_{\text{1}} + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{. }}\]$$ $$\[{\text{ y}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{, y}} = {\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{, z}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{,z}} = {\text{2z}}_{\text{1}} + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{. }}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/4/3148b857453c0992ea07ab521559beca82.png)
Подставляя значения переменных в 3. уравнение 3. варианта решений, имеем:
![$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} = \left[ {{\text{4}}\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 2} \right] = {\text{z}}^{\text{2}} + {\text{y}}^{\text{2}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 = 2\left( {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),\]$$ $$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} = \left[ {{\text{4}}\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 2} \right] = {\text{z}}^{\text{2}} + {\text{y}}^{\text{2}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 = 2\left( {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/e/dfe5a867bccd36e756f68d991bc5617f82.png)
![$\[{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ $\[{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/2/372d17b7cec58a1a5e5016033134fdef82.png)
числа различной чётности,
![$\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} - \]$ $\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} - \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/6/fe6be511b962395410ab4343afb36d6b82.png)
дробь.
Правая сторона уравнения чётная, значит
![$\[{\text{V}}_{\text{3}}\]$ $\[{\text{V}}_{\text{3}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/c/d7c42e46e2b0320052ac2c6b9d508e5b82.png)
тоже чётное число:
![$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^2 = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} }}{2}.\]$$ $$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^2 = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} }}{2}.\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/0/1703f89de94c907896fc596aafb2f17582.png)
Чётность
![$\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ $\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/1/491e8b413281f2f68de03780e4a61d0282.png)
различная, и
![$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{'}} \]$ $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{'}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/d/a9daa0321e8d4f449688b67e97e160da82.png)
не натуральное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при степени

следовательно, и при значении степени
Подстановкой в уравнение, проверим равенство:

![$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$ $$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/4/b74b8b8226b3c3a56da278d68817978482.png)
![$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$ $$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/9/3f9a42bf7813dedbd87272194a76e06282.png)
Исследование 3-го варианта решений при степени 
(для доказательства ВТФ не требуется)
Из первых двух уравнений 3-го варианта получаем значения переменных:

![$$\[{\text{z}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, z}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{, y}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} - 1}}
{2}{\text{ }}{\text{, y}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}.\]$$ $$\[{\text{z}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, z}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{, y}}_{\text{1}} = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} - 1}}
{2}{\text{ }}{\text{, y}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}.\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/e/42e7c049194176577b51e94678b5c06882.png)
Поставляя значения переменных в 3. уравнение 3. варианта решений, имеем:
![$$\[{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{3}} = \left[ {4\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 1} \right] = {\text{z}}^{\text{2}} + {\text{y}}^{\text{2}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right){\text{,}}\]$$ $$\[{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{3}} = \left[ {4\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 1} \right] = {\text{z}}^{\text{2}} + {\text{y}}^{\text{2}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right){\text{,}}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/9/b793a08dd5f7007f51fdf90104fe152182.png)
![$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}} = \left( {V_2^2 } \right)^3 + \left( {V_1^2 } \right)^3 ,{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} > {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} + {\text{1}}{\text{,}}\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}} = \left( {V_2^2 } \right)^3 + \left( {V_1^2 } \right)^3 ,{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} > {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} + {\text{1}}{\text{,}}\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/d/91dff3d8c6640753b6fe80fab1ad86d782.png)
различной чётности,
![$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}} - \]$ $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}} - \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/6/eb64e0d04b20bdb8990e05bbe624baa482.png)
дробь.
Исходя из полученного уравнения,
![$\[{\text{V}}_{\text{3}} \]$ $\[{\text{V}}_{\text{3}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/7/ea794c62a85d2696782bcf3a9741bfa882.png)
не натуральное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при степени

Подстановкой в уравнение, проверим равенство:
![$$\[\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3 = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4 = \]$$ $$\[\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3 = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4 = \]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/e/89e798102bcc8c01ed8b714970b0c92082.png)
![$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] = \]$$ $$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] = \]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/5/495aee0b55034fb7fd17f696657468ba82.png)
![$$\[= \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] =\]$$ $$\[= \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}} - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] =\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/4864077386a3612a2c4cc41f8af612b282.png)
![$$\[ = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{3}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3.\]$$ $$\[ = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{3}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}} + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3.\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/3/b83a831edd64f867bef5126d6b4aeefb82.png)
Уравнение не имеет неоднородных решений при степени

но имеет множество неоднородных решений при степени

Уравнение имеет также партикулярно однородные решений при

При
![$\[{\text{m}} = {\text{n}}\]$ $\[{\text{m}} = {\text{n}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/7/c3750840d1da2387098e2b10559fdef882.png)
таких решений нет, ибо уравнение Ферма имело бы решение при степени
Получение партикулярно однородных решений уравнения можно, исходя из неоднородных уравнений, имеющих решение, следующим образом:
![$\[{\text{x}}^{{\text{q }}} = z^{\text{n}} - y^{\text{n}} ,{\text{x}}^{\text{q}} {\text{d}} = z^{\text{n}} d - y^{\text{n}} d,x^q = z^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} - \]$ $\[{\text{x}}^{{\text{q }}} = z^{\text{n}} - y^{\text{n}} ,{\text{x}}^{\text{q}} {\text{d}} = z^{\text{n}} d - y^{\text{n}} d,x^q = z^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} - \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/4/534ddec1a974fd8b1f36387b2b29786582.png)
уравнение, имеющее решение,
После подстановки получаем:
Для доказательства ВТФ необходимо доказать, что второе уравнение также не имеет требуемых решений.
Исследование уравнения 
Запишем уравнение при степени

![$\[\left( {2z_1 } \right)^2 = \left( {{\text{2x}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}.\]$ $\[\left( {2z_1 } \right)^2 = \left( {{\text{2x}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}.\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/5/4d596e9002fcaa72564bcc0864e1b3d982.png)
Приведением уравнения к неоднородному виду, имеем:
![$$\[z_1^2 = \frac{{\left( {{\text{2x}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} }}{4} = x_1^2 + x_1 + y_1^2 + y_1 + \frac{1}
{2}.\]$$ $$\[z_1^2 = \frac{{\left( {{\text{2x}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} }}{4} = x_1^2 + x_1 + y_1^2 + y_1 + \frac{1}
{2}.\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/5/275225a63b5d2347114e23706521e34982.png)
Дробное значение

исключает разрешимость уравнения при значениях

.
Из результатов исследования двух уравнений следует, что ВТФ при степени
не имеет требуемых решений.