Киндер-сюрприз

[Henrylee]

Для "равномерности" необходимо купить все 18 яиц в разных случайно выбранных крупных городах. Бюджет.. большой

[Maslov]

PAV в сообщении #417914 писал(а):

Чтобы получить 7 игрушек с вероятностью 99%, нужно купить 43 яйца.

А сколько яиц надо купить, чтобы с вероятностью 99% получить 2 полных комплекта?

[PAV]

Честно говоря, легко не соображу. Для одного комплекта там получается простое рекуррентное соотношение, которое я за пару минут написал и посчитал программой. А для двух там что-то явно более сложное получается.

[Maslov]

PAV в сообщении #417956 писал(а):

Честно говоря, легко не соображу.

Ну и бог с ними тогда, с этими двумя комплектами.

[--mS--]

Maslov в сообщении #417966 писал(а):

Ну и бог с ними тогда, с этими двумя комплектами.

Ну, если не шибко лень загонять в компьютер, вероятность после покупки $n$ киндер-сюрпризов иметь не менее двух полных комплектов есть в точности вероятность при размещении наудачу $n$ шаров по семи урнам иметь не менее, чем по два шара в каждой урне, и по формуле включения-исключения может быть записана как

$$1+\frac{1}{7^n}\sum_{m=1}^6 (-1)^m C_7^m \sum_{k=0}^m A_n^k C_m^k (7-m)^{n-k}.$$

Упрощать это мне что-то не хочется

[Maslov]

Спасибо, --mS--!
Если нигде на наврал, вероятности для получения двух комплектов получаются такие:

Используется синтаксис Text

14: 0.001004
15: 0.005021
16: 0.014346
17: 0.030814
18: 0.055379
19: 0.088043
20: 0.128019
21: 0.173993
22: 0.224392
23: 0.277592
24: 0.332078
25: 0.386530
26: 0.439864
27: 0.491241
28: 0.540053
29: 0.585891
30: 0.628514
31: 0.667820
32: 0.703810
33: 0.736563
34: 0.766215
35: 0.792939
36: 0.816930
37: 0.838394
38: 0.857540
39: 0.874575
40: 0.889697
41: 0.903094
42: 0.914942
43: 0.925403
44: 0.934626
45: 0.942749
46: 0.949894
47: 0.956173
48: 0.961686
49: 0.966522
50: 0.970761
51: 0.974474
52: 0.977725
53: 0.980569
54: 0.983056
55: 0.985229
56: 0.987128
57: 0.988786
58: 0.990234
59: 0.991497
60: 0.992598
61: 0.993559
62: 0.994396
63: 0.995125
64: 0.995761
65: 0.996314
66: 0.996796
67: 0.997216
68: 0.997581
69: 0.997898
70: 0.998174

первый столбик -- количество купленных яиц

[PAV]

Maslov
все правильно, я свою таблицу размещать не буду, она точно такая же. Забавно, что я тоже посчитал до 70, когда увидел, что 50 не подходит. Только я делал не по указанной формуле, а снова рекуррентно, это проще считать, никаких сумм и биномиальных коэффициентов. Обозначим через $P_n(x_0,x_1)$ вероятность того, что после покупки $n$ яиц у нас не будет ни одного экземпляра $x_0$ игрушек и ровно по одному экземпляру $x_1$ игрушек (и соответственно $7-x_0-x_1$ типов игрушек у нас будет по две или больше, $x_0+x_1\le 7$).

Для этих величин имеем следующее рекуррентное соотношение:

$$ P_n(x_0,x_1)=P_{n-1}(x_0,x_1)\frac{7-x_0-x_1}{7}\, +\, P_{n-1}(x_0,x_1+1)\frac{x_1+1}{7}\, +\, P_{n-1}(x_0+1,x_1-1)\frac{x_0+1}{7} $$

с очевидным начальным условием $P_1(6,1)=1$, все остальные равны нулю, также равны нулю в ситуациях, когда нарушаются ограничения на аргументы.

Искомая вероятность - это $P_n(0,0)$

[Maslov]

Спасибо, PAV!

[--mS--]

PAV в сообщении #418074 писал(а):

Только я делал не по указанной формуле, а снова рекуррентно, это проще считать, никаких сумм и биномиальных коэффициентов.

Безусловно, когда умеешь рекуррентное соотношение выписать Нам, увы, дискретной математики не преподавали, так что я всё по-дедовски...