Две задачи с олимпиады...

[Dionis_The_Great]

Помогите, пожалуйста, решить две задачки с олимпиады Вот собственно их условия:

1) Пусть $S(n)$ – сумма цифр натурального числа $n$. Нужно найти $S(S(S(2006^{2006})))$.
С помощью десятичного логарифма находим, что в числе $2006^{2006}=a$ ровно 6625 знаков. Значит, $S(a)\leqslant9\cdot6625=59625$, тогда $S(S(a))\leqslant9\cdot4+4=40$, и, наконец, $S(S(S(a)))\leqslant3+9=12$. Далее воспользуемся тем, что сумма цифр числа сравнима с самим числом по модулю 9. Нетяжело показать, что $2006^{2006}\equiv1\pmod9$ (в самом деле, $2006^{2006}=(9\cdot223-1)^{2006}\equiv1\pmod9$). Таким образом, получаем, что искомой суммой цифр может быть либо 1, либо 10. Но вот какое из них выбрать для меня большой вопрос

2) Найти только все те решения дифференциального уравнения $(1+x^2)y''+x\,y'=\sin y$, которые выражаются через элементарные функции.
По словам организаторов олимпиады, это очень важное примечание [о представлении через элементарные функции] к задаче, от которого следует отталкиваться. У меня вот что-то никак не отталкивается пока что... Пытался найти какое-либо частное решение (удобной кажется сразу функция $y(x)=\arctg f(x)$ и для дифференцирования в данном случае, и для избавления от тригонометрических функций в правой части), но, к сожалению, так ничего и не вышло.

[RIP]

Некоторые соображения по первой задаче.
$S(S(2006^{2006}))$ может равняться только $1,10,19,28,37.$
Правда, не видно, чем это может помочь

Добавлено спустя 1 час 13 минут:

По второй задаче имеются следующие соображения(но решения нет )
Любое решение можно записать в виде

$$y=c_1(x)\ln(x+\sqrt{1+x^2})+c_2(x),$$

где $c_1'=\frac{\sin y}{\sqrt{1+x^2}},c_2'=-\frac{\sin y\cdot\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}$.
Тогда получаем

$$y'=\frac{c_1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Легко получить

$$\cos y+\frac{c_1^2}2=\alpha=const$$

и

$$(1+x^2)c_1'^2+(\alpha-\frac{c_1^2}2)^2=1$$

Имеются ли непостоянные решения $c_1$, выражающиеся через элементарные функции, я не знаю, но если нет, то легко получаем, что $y=\pi k,k\in\mathbb{Z}$.

[V.V.]

А что за олимпиада?

[Dionis_The_Great]

У нас в университете (Челябинский Педагогический) внутренняя олимпиада

[maxal]

Комп сказал, что в первой задаче ответ 10

[V.V.]

Я пытался получить противоречие.

Пусть у нас тройная сумма равна 1.
Тогда двойная сумма равна 10 (потому что не больше 37).
Тогда первая сумма не больше 19000.
А как получить оценку, что больше 19000 - не додумался.

[Руст]

V.V. писал(а):

Я пытался получить противоречие.

Пусть у нас тройная сумма равна 1.
Тогда двойная сумма равна 10 (потому что не больше 37).
Тогда первая сумма не больше 19000.
А как получить оценку, что больше 19000 - не додумался.

Двойная сумма может оказаться даже равным 1, например в случае, когда первая сумма 10000.

[RIP]

А чем Вас не устраивает 55000, например? Думаю, что без явного вычисления нельзя получить ответ в первой задаче. Видимо, в задаче забыли один значок $S$.

[V.V.]

Руст писал(а):

Двойная сумма может оказаться даже равным 1, например в случае, когда первая сумма 10000.

Прочитайте мой предыдущий пост. Цель была доказать, что ответ в задаче - 10.

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

RIP писал(а):

А чем Вас не устраивает 55000, например? Думаю, что без явного вычисления нельзя получить ответ в первой задаче. Видимо, в задаче забыли один значок $S$.

Да, стормозил. 55000 устраивает.