Пересечение эллипса и окружности

[SoGuit]

Здравствуйте, люди добрые. Нужна помощь. Задача предельно проста, но я, видимо, порастерял уже все знания. Итак, есть эллипс, расположенный в центре координат, и есть окружность, от этого центра удаленная. Надо установить, при каких условиях окружность и эллипс имеют хотя бы одну общую точку. Выражение координат точек пересечения не требуется. Решать можно в любом удобном виде: параметрически, в декартовой или полярной системе координат, через диффуры и т.д., так как это лишь часть решения более сложной трехмерной задачи на столкновение. Перевод в нужную систему матрицей произведу самостоятельно. На всякий случай напомню систему уравнений в каноническом виде (простите за лень писать в tex-е):
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2,
где a - большая полуось, b - малая полуось, x0 и y0 - координаты центра окружности в декартовой системе координат, а R - радиус окружности.
Заранее благодарен.

[PAV]

Соображения есть такие. Зададим эллипс параметрически через угол $\beta$: $x(\beta)=a\cos\beta$, $y(\beta)=b\sin\beta$. Напишем расстояние от точки эллипса до центра окружности (точнее, его квадрат):
$d(\beta) = (a\cos\beta - x_0)^2 + (b\sin\beta-y_0)^2$.

Найдем производную этого выражения и приравняем к нулю:
$d'(\beta)=2(a\cos\beta-x_0)(-a\sin\beta) + 2(b\sin\beta-y_0)(b\cos\beta)=0$

Решение этого уравнения даст нам две точки на эллипсе: самую дальнюю от центра окружности и самую ближнюю. По крайней мере, это будет так, если центр окружности не лежит внутри эллипса, иначе будет две точки минимума и две - максимума.

Точку минимума надо найти и сравнить расстояние до центра окружности с радиусом.

На самом деле видно также, что это уравнение равносильно тому, что отрезок, соединяющий точку эллипса с центром окружности, перпендикулярен касательной к эллипсу в этой точке.

Явного решения этого уравнения я сходу не вижу. В крайнем случае можно решить численно.

[Brukvalub]

Я предлагаю рассмотреть еще один подход. Начнем с того, что, если эллипс и окружость пересекаются, то самая близкая (самые близкие) к центру окружности точка эллипса находится от него на расстоянии меньше радиуса этой окружности, а самая далекая (самые далекие) от центра окружности точка эллипса находится от него на расстоянии больше радиуса этой окружности. Поэтому достаточно рассмотреть задачу исследования функции квадрата расстояния от переменной точки плоскости до центра кружности на условный экстремум, с функцией связи переменных в виде уравнения эллипса. Строим функцию Лагранжа, дифференцируем ее по переменным и по множителю Лагранжа- получаем два линейных и одно квадратное уравнение, вычисляем критические точки и функццию квадрата расстояния до центра окружности в этих точках-сравниваем ее значения с квадратом радиуса, и мы в шоколаде.

[leonid_v]

Я предлагаю рассмотреть еще один подход.Точки пересечения линий находятся решением системы уравнений.Из первого уравнения выражаем x через y и подставляем во второе уравнения.Имеем уравнение с одним неизвестным.В крайнем случае можно решить численным методом.