Киндер-сюрприз

[Профессор Снэйп]

Туплю с тервером, стыдно

В яйце "Киндер-сюрприз" содержится 7 типов игрушек. Допустим, что каждый тип игрушек встречается с одинаковой вероятностью $1/7$. Сколько в среднем надо купить "Киндер-сюрпризов" для того, чтобы собрать полную коллекцию из семи типов игрушек?

Другими словами, пусть для каждого целого $n \geqslant 7$ число $p_n$ равно вероятности того, что после покупки $n-1$ яйца полного комплекта не будет, а после покупки $n$ яиц комплект будет. Надо считать матожидание $\sum_{n=7}^\infty np_n$. Вопрос теперь в том, как найти $p_n$?

[maxmatem]

А это случайно не распределение Бернулли ?(хотя могу ошибаться.......)

[PAV]

Если я не ошибаюсь, то эту задачу можно решить так. Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$. Обозначим через $X(p)$ случайную величину, равную количеству испытаний до появления первого успеха (включительно). Это известная вещь, геометрическое распределение, математическое ожидание легко считается.

Теперь рассуждаем так. Покупаем первое яйцо, одна игрушка есть. Последующие покупки называем "неудачей", если попалась та же игрушка, что и в первый раз, и "успехом" - если любая другая. Проводим испытания до первого успеха. Теперь есть уже две разные игрушки, снова рассматриваем ту же схему Бернулли, но теперь неудача - это любая из двух игрушек, которые уже имеются. Ну и так далее.

Таким образом, искомая случайная величина (число покупок до сбора всех игрушек) представляется в виде суммы:
$X=1+X(\frac67)+X(\frac57)+X(\frac47)+X(\frac37)+X(\frac27)+X(\frac17)$
Математические ожидания складываются.

[Mikhail Sokolov]

Не оно? http://www.problems.ru/view_problem_det ... p?id=35161

[PAV]

Да, оно самое.

[maxmatem]

PAV
Значит это распределение Бернулли???

[PAV]

Нет, это не Бернулли. Это сумма нескольких геометрических распределений с разными параметрами.

[Профессор Снэйп]

Да, спасибо. Я уже сам понял, как решать.

Пусть $p_n^i$ --- вероятность того, что после покупки $n$ яиц будет ровно $i$ различных типов игрушек. Тогда

$$ \left( \begin{array}{c} p_{n+1}^1 \\ p_{n+1}^2 \\ p_{n+1}^3 \\ p_{n+1}^4 \\ p_{n+1}^5 \\ p_{n+1}^6 \\ p_{n+1}^7 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccccc} 1/7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6/7 & 2/7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5/7 & 3/7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4/7 & 4/7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3/7 & 5/7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2/7 & 6/7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/7 & 1 \\ \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) $$

Интересующее нас $p_n$ --- это $p_{n-1}^6/7$.

Ну и фсё как бы. Остаётся лишь куча громоздких вычислений, а поскольку матпакет у меня не установлен, жорданову форму для матрицы $7 \times 7$ я руками считать не буду. Увольте!!!

[PAV]

Я не вникал в детали, если Вам нужны были именно сами вероятности $p_n$ - тогда их находить действительно немного муторно, но обращаю внимание, что выше приведен способ вычисления математического ожидания, который обходит эти сложности, не требует вычисления вероятностей и решается без особых технических трудностей.

[--mS--]

В среднем 18,15 киндер-сюрпризов... Но профессора из Новосибирска не ищут лёгких путей

[Профессор Снэйп]

--mS-- в сообщении #417621 писал(а):

В среднем 18,15 киндер-сюрпризов...

Хм... Сахар прислал мне результаты вычислений с матрицами (полученные с использованием матпакета, насколько я понял). У него получилось 18.10 Близкое значение, но всё же чуть-чуть другое

[PAV]

Ну слушайте так же нельзя ничего понять. Нужно как минимум найти дисперсию этого распределения (делается точно так же) и знать, сколько реализаций было экспериментально проведено. Еще большой вопрос, какой датчик был использован, насколько он чистый, насколько правильно были смоделированы эти вероятности.

[--mS--]

Профессор Снэйп в сообщении #417644 писал(а):

Хм... Сахар прислал мне результаты вычислений с матрицами (полученные с использованием матпакета, насколько я понял).

Хм, хм... $7\cdot(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7)=18,15$ безо всяких матриц и матпакетов... О чём мы тут?

PAV, я так поняла, что (про 18.10) речь идёт не о симуляции, а о вычислении-таки вероятностей из матриц, подстановке их, болезных, в определение матожидания, и вычислении оного. С помощью матпакета...

[caxap]

Профессор Снэйп, извините, я при наборе опечатался. Вместо $\frac{363}{20}$ набрал $\frac{362}{20}$...

[--mS--]

Уважаю маньяков