Задача по тв: из урны потеряли два шара...

[NeBotan]

Задача. В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из урны потеряли два шара. Найти вероятность того, что шар, вынутый из урны после этого. окажется белым.

Решение. Надо найти вероятность вытащить такой шар для 3 разных случаев:
а) потеряли 2 белых шара.
б) потеряли 2 черных шара.
в) потеряли 1 белый и 1 черный шар.

Как найти вероятности а), б) и в) я знаю. Вопрос вот в чем: после нахождения их надо сложить, чтобы получить искомую вероятность или нет? если нет, то какой формулой или логикой надо руководствоваться? Заранее спасибо.

[ewert]

NeBotan в сообщении #416895 писал(а):

В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из урны потеряли два шара.

Естественно, не изменится. Обычно подобные задачки составляются осмысленнее.

[NeBotan]

то есть ход моих мыслей неверен? как объяснить то, что вероятность не изменится?

[arseniiv]

А разве тут формула полной вероятности не сгодится?
$\mathbb P(B) = \mathbb P(B|A_1) \mathbb P(A_1) + \mathbb P(B|A_2) \mathbb P(A_2) + \mathbb P(B|A_3) \mathbb P(A_3)$, где $A_i$ — это ваши три события, а $B$ — вытащен белый шар.

[ewert]

arseniiv в сообщении #416936 писал(а):

А разве тут формула полной вероятности не сгодится?

Она не то чтоб не сгодится -- она попросту не нужна. Абстрактная потеря -- не привносит никакой дополнительной информации; соотв., и вероятность не меняется.

[PAV]

ewert в сообщении #416978 писал(а):

Она не то чтоб не сгодится -- она попросту не нужна. Абстрактная потеря -- не привносит никакой дополнительной информации; соотв., и вероятность не меняется.

Это правильно, хотя формально следует уметь обосновать этот вывод более аккуратно и строго.

[svv]

Выбираем шар из первоначального множества шаров.
Событие $A$ -- выбранный шар входит в число тех двух удаленных.
Событие $B$ -- выбранный шар белый.
Так как при удалении двух шаров из урны цвет не имел значения, события $A$ и $B$ независимые.
Тогда $\mathbb P\{B | \overline A\} = \mathbb P \{B\}$

[Tlalok]

ewert в сообщении #416978 писал(а):

... Абстрактная потеря -- не привносит никакой дополнительной информации; соотв., и вероятность не меняется.

Я с Вами не согласен. Дополнительная информация - в урне стало на два шара меньше.

А почему нельзя посчитать условные вероятности извлечения белого шара в трех случаях а), б) и в) и сложить. События однозначно не совместные, значит их вероятности можно складывать.
Вероятности событий а), б) и в) можно посчитать пользуясь "правилом произведения".


Может я заблуждаюсь, тогда объясните в чем я моя ошибка, пожалуйста.

[spaits]

Tlalok в сообщении #417202 писал(а):

ewert в сообщении #416978 писал(а):

... Абстрактная потеря -- не привносит никакой дополнительной информации; соотв., и вероятность не меняется.

Я с Вами не согласен. Дополнительная информация - в урне стало на два шара меньше.

А почему нельзя посчитать условные вероятности извлечения белого шара в трех случаях а), б) и в) и сложить. События однозначно не совместные, значит их вероятности можно складывать.
Вероятности событий а), б) и в) можно посчитать пользусь "правилом произведения"

Да.

$$p=\dfrac14 * \dfrac49 + \dfrac14 * \dfrac69 +\dfrac12 * \dfrac59 = \dfrac59$$

Найдена вероятность вынуть белый шар, если неизвестно, каких два шара было потеряно.
А по пунктам а, б, в вычисление элементарно, это вероятности: $\dfrac49$, $\dfrac69$, $\dfrac59$.

[--mS--]

Tlalok в сообщении #417202 писал(а):

А почему нельзя посчитать условные вероятности извлечения белого шара в трех случаях а), б) и в) и сложить. События однозначно не совместные, значит их вероятности можно складывать.
Вероятности событий а), б) и в) можно посчитать пользуясь "правилом произведения".

Не очень понятно, что тут за несовместные события, но будем считать, что Вы описали формулу полной вероятности (см. выше сообщение #416936). Можно, можно и так, - до тех пор, пока шаров вынуто два. А пусть урна побогаче, и шаров вынуто уже 22, а мы берём 23-й и интересуемся вероятностью ему быть белым. Будем перебирать все возможные события про вынутые ранее 22 шара? Однако, 23 гипотезы...

Разумным ответом тут будет "вероятность такая же, как для первого шара". Обосновать можно просто: пусть все шары нумерованы. Вынимаем поочерёдно 23 шара. Раскладываем в цепочку в порядке появления. Все мыслимые цепочки из 23 номеров шаров равновозможны (мы в таких условиях работаем). Что это значит? Что вероятность шару с любым номером появиться на любом месте в цепочке одна и та же. В частности, число цепочек, в которых шар номер один стоит на первом месте, точно такое же, как число цепочек, где этот шар стоит на последнем месте. То же самое для шара номер 7, и т.д. То же для любого белого шара - число цепочек, в которых белый шар занимает первое место, такое же, как число цепочек, где он на последнем месте. Всё.

-- Пт фев 25, 2011 20:52:29 --

spaits в сообщении #417207 писал(а):

Да.

$$p=\dfrac14 * \dfrac49 + \dfrac14 * \dfrac69 +\dfrac12 * \dfrac59 = \dfrac59$$

Боже, что это было?

[Tlalok]

Вовсе нет
$P\left( a \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_5^0}}{{C_{11}^2}} = \frac{{\frac{{6!}}{{2! \cdot 4!}} \cdot \frac{{5!}}{{0! \cdot 5!}}}}{{\frac{{11!}}{{2! \cdot 9!}}}} = \frac{3}{{11}}$

В общем у меня ответ:

$$p = \frac{{6}}{{11}}$$

Хм, и правда тоже самое. Забавно.

Под несовместностью событий я имел ввиду, что одновременная потеря 2 белых и 2 черных шаров, если потеряли всего 2 шара.

[PAV]

Tlalok в сообщении #417202 писал(а):

Я с Вами не согласен. Дополнительная информация - в урне стало на два шара меньше.

Нет, поскольку цветов этих шаров мы не знаем, то это нам ничего не дает. Это можно посчитать аккуратнее. Даже если рассмотреть крайний случай, когда извлекаются все шары, кроме одного (не глядя на цвета), а потом смотрим на цвет последнего оставшегося - то для него вероятности такие же, как если бы он был первым.

[Tlalok]

--mS--, PAV
Спасибо.

[spaits]

Сначала находим вероятности событий, какие шары потеряны, тут возможности такие: бб, чч, бч, чб, соответствующие вероятности: $\dfrac14$, $\dfrac14$ и $\dfrac12$ (последняя вероятность, что наступит одно из событий бч или чб).
Ну, а если потерялись $2$ белых шара, то осталось шаров: $4$ белых и $5$ чёрных. Вероятность вынуть белый шар теперь $\dfrac49$. Это ответ на пункт а) Вашей задачи.
Аналогично и с остальными пунктами, когда потерялись два чёрных или один чёрный, другой белый (решите сами). Уберите потерянные шары из кучи и рассчитайте вероятность. Потом умножьте каждую вероятность на соответствующую вероятность выпадения различных комбинаций шаров и сложите эти условные вероятности, так как события независимы.
Это пояснение к моим выше приведённым расчётам. На самом деле это формула полной вероятности.

[gris]

Корифеи ушли, я выхожу.
spaits, Ваши рассуждения напоминают анекдот: вероятность встретить в лесу динозавра равна 50% — либо встретишь, либо нет.
Вероятность потери двух белых шаров не 1/4, а ...
А вообще задача равносильно такой: из урны вынимают три шара. Какова вероятность, что третий будет белым. Она будет ровно такой же, как вероятность первого шара быть белым. Собственно, это уже сказано, просто задача до боли знакомая.