доказать, что у функции единственное решение

[tavrik]

точнее, даже так:
задано уравнение

$xe^{1/x}=c$

доказать, что при $c<0$ данное уравнение имеет единственное решение.

я взял ln
и получил:
ln$(xe^{1/x})$=ln$c$

дальше, не могу вспомнить, хоть учил анализ всего 7 лет назад.
есть теорема о значении непрерывной функции, точнее ее частный случай($f(a)<0$, $f(b)>0$ существует точка c, в которой $f(c)=0$).
как её использовать в данном случае?

Thanks.
Igor

[AKM]

tavrik в сообщении #416540 писал(а):

дальше, не могу вспомнить, хоть учил анализ всего 7 лет назад.

1. Я учил логарифмы лет сто назад, и брали мы их тогда только от положительных чисел.

2. Ваше

ln[math]$(xe^{1/x})$[/math]=ln[math]$c$[/math]

кодируется как

$\ln xe^{1/x}=\ln c$

(палочка перед и пробел после "ln")

3. Функции не "решают". В тексте у Вас правильно написано, а заголовок... фе...

-- 24 фев 2011, 11:44 --

4. С единственностью решений часто связано понятие монотонности функции.

[PAV]

Найдите производную функции и все должно стать понятно.

[tavrik]

перевожу на другую сторону.
тогда можно взять.
и тогда надо решать $xe^{1/x}+c=1}$

?

[ИСН]

Ой, ну нарисуйте график там как-нибудь уже, ну.

[PAV]

Еще раз повторяю: с помощью производной задача решается фактически устно и без каких-либо ненужных преобразований.

[ewert]

Не надо никаких производных -- оба сомножителя очевидно монотонны по модулю в одну и ту же сторону, и их произведение меняется от нуля до минус бесконечности.

[TOTAL]

$e^y=cy$ а вот так переписать?

[tavrik]

и тогда единственное решение $y=0$
?

[Derinaiborory]

http://yotx.ru/default.aspx?clr0=000000 ... =png&aa=on
ну это так, в помощь...

[TOTAL]

tavrik в сообщении #416631 писал(а):

и тогда единственное решение $y=0$
?

Не только это, есть ещё одно.

[ewert]

TOTAL в сообщении #416637 писал(а):

tavrik в сообщении #416631 писал(а):

и тогда единственное решение $y=0$
?

Не только это, есть ещё одно.

Не "не только это", а "о, только не это!".

[tavrik]

да, действительно ни это.
в любом случае, если я нахожу что после замены y=something(x) одно решение, разве это говорит, что первоначальная была тоже с одним решением?в корнях, я помню, "теряются" решения при таких заменах.
по крайней мере над полем действительных чисел.

производная $e^x(1-1/x)$
отрицательна при $x<1$ и положительна при $x>1$

[ewert]

tavrik в сообщении #416657 писал(а):

если я нахожу что после замены y=something(x) одно решение, разве это говорит, что первоначальная была тоже с одним решением?

Поскольку замена взаимно однозначна -- безусловно, говорит. А она тут, если маленько подумать, именно взаимно однозначна.