Ещё одна сходящаяся последовательность

[RIP]

Пусть $p_0,p_1,\ldots,p_{k-1}$-положительные числа, $\sum\limits_{j=0}^{k-1}p_j=1$. Далее, пусть $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\subset\mathbb{R}$-ограниченная снизу последовательность, такая что при $n\geqslant0$

$$a_{n+k}\leqslant p_{k-1}a_{n+k-1}+p_{k-2}a_{n+k-2}+\ldots+p_0a_n.$$

Докажите, что $a_n$ сходится.

[maxal]

RIP писал(а):

Пусть $p_0,p_1,\ldots,p_{k-1}$-положительные числа, $\sum\limits_{j=0}^{k-1}p_j=1$. Далее, пусть $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\subset\mathbb{R}$-ограниченная снизу последовательность, такая что при $n\geqslant0$

$$a_{n+k}\leqslant p_{k-1}a_{n+k-1}+p_{k-2}a_{n+k-2}+\ldots+p_0a_n.$$

1) Докажите, что $a_n$ сходится.
2) Выразите $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ через $a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}$ и $p_0,p_1,\ldots,p_{k-1}$.

Имеем

$$a_{n+k}\leqslant p_{k-1}a_{n+k-1}+p_{k-2}a_{n+k-2}+\ldots+p_0a_n \leq \max \{a_{n+k-1},\dots,a_n\}$$

.
После этого существование предела легко доказывается в виду ограниченности снизу. Выразить явно предел не представляется. Например, он может быть просто равен нижней границе (которая может не зависеть от $a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}$ и $p_0,p_1,\ldots,p_{k-1}$).

[RIP]

Согласен. Поправил условие.