Найти площадь без использования интегралов

[svv]

(Оффтоп)

Как известно, понятие "интеграл" определяется через вспомогательное понятие "WolframAlpha". Чуть не привел буквально ту же ссылку, что и MrDindows

[Derinaiborory]

Ну не стоит как бы я считаю так ехидно подкалывать, мне просто интересно же... да, бывает, я ошибался но и вы тоже ошибались, обяъясните где у меня ошибка... Стоит ли рассказывать о способе над которым все ржут?

[maxmatem]

Derinaiborory

(Оффтоп)

Да никто над вами не смеётся, просто расскажите о методе который не использует понятие интеграла, и который вы хотели показать.

Цитата:

и я покажу вам более простой и точный =)

[Tlalok]

Объясните чем Вы руководствовались. Тогда Вам укажут на ошибки.

[svv]

Давайте я предположу, в чем состоит Ваш метод. Если $f(x)$ -- полином $n$-го порядка, то площадь под кривой $f(x)$ на участке $x \in [a, b]$ равна $(b-a)\frac{f(b)-f(a)}{n+1}$. Ваши вычисления выглядят так, как будто Вы так считаете.

[Derinaiborory]

так, если брать в учет что если взять любые две точки на ветке праболы и выстроить с помощью их прямоугольник (стороны которого параллельны осям х и у) получится некая площадь, то график будет делить эту площадь в отношении $1/n+1$ и $n/n+1$ (следовательно в нашем случае 1/7 и 6/7), а линия уравнения прямой делит нашу площадь ровно надвое, то можно просто вычесть из половины площади 1/7 площади, разве нет?

[svv]

Берем кривую $y(x)=x^n$. Берем точки $x=0$ и $x=a$, им соответствуют $y(0)=0$ и $y(a)=a^n$. Ваш прямоугольник: $x \in [0, a], y \in [0, a^n]$.
Вы говорите, что площадь под кривой будет $1/(n+1)$ от площади прямоугольника. Проверяем:

$$\frac {\int\limits_0^a x^n dx} {(a-0)(a^n-0)} = \frac {(a^{n+1} - 0^{n+1})/(n+1)}{a^{n+1}} = \frac 1 {n+1} $$

Правильно.

Теперь вместо точки $a$ возьмем точку $b>a$. Все рассуждения можно повторить. Ваш вывод опять правильный: площадь под кривой на интервале $x \in [0, b] $ составит $1/(n+1)$ от площади прямоугольника $x \in [0, b], y \in [0, b^n]$.

А дальше из этих двух правильных посылок Вы делаете неправильный вывод: в прямоугольнике $x \in [a, b], y \in [a^n, b^n]$ площадь между кривой и нижней стороной прямоугольника ($y=a^n$) тоже составляет $1/(n+1)$ от его площади. Но почему? Этот прямоугольник ведь не является разностью первых двух (ни в смысле множества точек, ни в смысле площади).

[Derinaiborory]

svv
нет, вы наверное не так поняли, я вычитаю не из прямоугольтника прямоугольник а из прямоугольника вычитаю половину, которая ограничена прямой и 1/n площади прямоугольника. Я не делаю такой вывод исходя их тех доказательств которые вами приведены, и почему вы считаете что вывод который вы признали неверным действительно неверен? в каком же отношении тогда делится наш прямоугольник? я всегда считал что любые точки можно взять и отношение сохраняется.

[Tlalok]

Derinaiborory
svv хочет сказать, что указанное Вами соотношение справедливо, ТОЛЬКО в том случае, если одна из точек $0$.

[Derinaiborory]

Tlalok я прекрасно это понял, я только не понял на каком основании это возникло, если два первых верных случая (с нулями) он показал математически, то третий просто написал что неверен. Не понимаю при чем тут разность прямоугольников...

(Оффтоп)

Ну ладно мне спать надо, завтра проснусь и еще покумекаю....

[svv]

Derinaiborory писал(а):

я вычитаю не из прямоугольтника прямоугольник а из прямоугольника вычитаю половину, которая ограничена прямой и 1/n площади прямоугольника

Я этот метод понял и начал с проверки: а верно ли, что площадь между $x^6$ и нижней стороной прямоугольника всегда составляет $1/7$ его площади. До площади под прямой я не дошел (и не дойду). Пожалуйста, просмотрите еще раз -- я анализирую ещё самый первый этап.

Если Вам понятнее в цифрах.
Берем кривую $y=x^6$, точки $x=0$ и $x=2$. Площадь под кривой равна $128/7$ -- это $1/7$ Вашего прямоугольника $[0,2]\times[0^6, 2^6]$.
Берем кривую $y=x^6$, точки $x=0$ и $x=4$. Площадь под кривой равна $16384/7$ -- это тоже $1/7$ Вашего прямоугольника $[0,4]\times[0^6, 4^6]$.
Берем кривую $y=x^6$, точки $x=2$ и $x=4$. Площадь под кривой равна разности двух предыдущих площадей $= 16256/7$, согласны?
На интервале $x \in [2,4]$ площадь между кривой $y=x^6$ и горизонтальной линией $y=2^6$ равна $16256/7-2^6\cdot(4-2)$, согласны?
Ну и равно ли это $1/7$ от прямоугольника $[2,4]\times[2^6, 4^6]$?

Tlalok писал(а):

svv хочет сказать, что указанное Вами соотношение справедливо, ТОЛЬКО в том случае, если одна из точек $0$.

Именно!

[Derinaiborory]

Цитата:

Берем кривую , точки и . Площадь под кривой равна разности двух предыдущих площадей , согласны?

нет не согласен, может и туплю но уже сонный не соображаю, завтра отвечу, сейчас даже нет возможности это на листке нарисовать, только в уме...

[Tlalok]

Derinaiborory

Для кривой $y=x^n$, $x \in \left[ {a;b} \right]$ при условии $0 \le a < b$ отношение площади под кривой к площади прямоугольника будет равно:
$\frac{{{b^{n + 1}} - {a^{n + 1}} - {a^n}\left( {b - a} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)\left( {b - a} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

Подставьте вместо $a$ число $0$ и получите Ваше соотношение, в любом другом случае, соотношение будет другим.

Но это абсолютно бесполезно, так как с помощью интегралов вычислить площадь намного проще.

[Derinaiborory]

уснуть я не смог... ворочался пока в уме не просчитал, да вы правы. Прошу извинения. Хорошо хоть этот метод в частных случаях использовать можно=) кстати не подскажите для гипербол какие-нибудь подобные зависимости есть?

[bot]

Tlalok в сообщении #416420 писал(а):

И без логарифмов, и без интегралов. Почти. Его второе название - механический интегратор.

Видел такой на звероводческой ферме - шкурную площадь им измеряют. Судя по всему в механизме заложена формула вычисления площади с помощью криволинейного интеграла.

А без интегралов по древнегречески - они умели в некоторых случаях (в частности, для степенного) разбивать промежуток и находить точки, в которых достигались средние значения функции на отрезках разбиения, так что после нахождения интегральной суммы к пределу переходить не требовалось.