Уравнение в натуральных числах

[Wolf000]

$5^5-5^4+5^n=m^2$
решить в натуральных числах

[maxmatem]

ну одну пару подобрать не трудно $n=5$ ,а $m=75$ ....а дальше.....

[spaits]

Wolf000 в сообщении #416384 писал(а):

$5^5-5^4+5^n=m^2$
решить в натуральных числах

$n=5$; $m=75$.
$5^5-5^4+5^5=75^2$.

Решение единственное. Этого Вы не написали.

[juna]

а дальше решений нет, т.к. уравнение $(m-2)(m+2)=5^n$ имеет одно решение

[maxmatem]

spaits
я уже такой вариант написал!

[spaits]

maxmatem в сообщении #416403 писал(а):

ну одну пару подобрать не трудно $n=5$ ,а $m=75$ ....а дальше.....

Решение единственное.

[MrDindows]

spaits в сообщении #416415 писал(а):

maxmatem в сообщении #416403 писал(а):

ну одну пару подобрать не трудно $n=5$ ,а $m=75$ ....а дальше.....

Решение единственное.

Сомневаюсь, что жюри на олимпиаде поверят Вам на слово)

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #416465 писал(а):

spaits в сообщении #416415 писал(а):

maxmatem в сообщении #416403 писал(а):

ну одну пару подобрать не трудно $n=5$ ,а $m=75$ ....а дальше.....

Решение единственное.

Сомневаюсь, что жюри на олимпиаде поверят Вам на слово)

Мне бы тоже не поверили.
$5^5-5^4+5^n=m^2$
$m^2-50^2=5^n$
$(m+50)(m-50)=5^n$
Разность - сто, а факторы - только степени пятёрки, значит 125 и 5. Других нет.

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #416469 писал(а):

Разность - сто, а факторы - только степени пятёрки, значит 125 и 5. Других нет.

Очепятались слегка
125 и 25*

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #416470 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #416469 писал(а):

Разность - сто, а факторы - только степени пятёрки, значит 125 и 5. Других нет.

Очепятались слегка
125 и 25*

(Оффтоп)

После того, что со мной было, удивительно, что я вообще могу писать и соображать. Утром 16-го числа меня в больницу забрали с язвой, но в тот же день выписали. Сперва всё хорошо было, но потом кровотечение открылось и меня снова увезли. Только сегодня домой приехала.

[spaits]

Доказательство привели Juna и Xenia 1996.
Я вначале упростила уравнение, сократив на $625$, после замены переменных получила: $t^2-4=5^s$; сократите, и Вы видите, что уравнение $(t-2)(t+2)=5^s$ действительно имеет единственное решение.