Функциональное уравнение

[myra_panama]

Решить функциональное уравнение
$f(x)+f(\frac{x}{1-x})=x$
если сделаем замену $\frac{x}{1-x}$ на x , то получаем уравнение
$f(\frac{x}{x+1})+f(x)=\frac{x}{x+1}$
повторяя эту замену получаем
$f(\frac{x}{2x+1})+f(\frac{x}{1-x})=\frac{x}{2x+1}$
как то дальше непонятно...

(Оффтоп)

если было бы уравнение в таком виде
$f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$
то сделая ту же замену получили бы очень простое решение

[myra_panama]

ну что то не пойму , никто не помогает ученику.......

[Mikhail Sokolov]

Что сказано про область определения функции?
Если известно, что $f$ определена и непрерывна в нуле, то, продолжая предложенные вами итерации, и пользуясь тем, что $f(0)=0$ можно получить решение в виде условно схдящегося ряда для $x\neq 1/n$, где $n$ - натуральное число.

[ИСН]

А что такого особенного в точках $x={1\over n}$?

[Mikhail Sokolov]

$n$-я итерация функции $x \mapsto \frac {x} {1-x}$ неопределена при $x=1/n$.

[ИСН]

И что? Зачем нам она? Я думал, мы итерируем $x\over 1+x$.

[Mikhail Sokolov]

Это смотря в какую сторону итерировать . Ok, тогда при $x=-1/n$.

[ИСН]

Ну, этих-то не жалко.

[myra_panama]

ну у меня появился (как то) идея....

myra_panama в сообщении #416017 писал(а):

если сделаем замену $\frac{x}{1-x}$ на x , то получаем уравнение
$f(\frac{x}{x+1})+f(x)=\frac{x}{x+1}$
повторяя эту замену получаем
$f(\frac{x}{2x+1})+f(\frac{x}{1-x})=\frac{x}{2x+1}$

если продолжим эту процесс то можно получить :
$f(\frac{x}{(2n-1)x+1})+f(x)=\frac{x}{(2n-1)x+1}$
при $n \to \infty$ получим
$f(x)=0$
отсюда можно вытекать , что уравнению , удовлетворяет только константа..

[ИСН]

нет

[MrDindows]

Если подставить вместо $x$, $\frac1x$.
$f(\frac1x)+f(\frac{1}{x-1})=\frac1x$
Мб из этого чтото извлечь?)

[myra_panama]

ИСН в сообщении #416225 писал(а):

нет

ИСН предложите что нибудь ..........

MrDindows в сообщении #416227 писал(а):

Если подставить вместо $x$, $\frac1x$.
$f(\frac1x)+f(\frac{1}{x-1})=\frac1x$
Мб из этого чтото извлечь?)

это тоже даст моё решение ... дальше...

[ИСН]

Mikhail Sokolov уже всё предложил. Решение получается в виде ряда.

-- Ср, 2011-02-23, 19:48 --

В моём варианте это ${x\over1+x}-{x\over1+2x}+{x\over1+3x}-{x\over1+4x}+\dots$

[myra_panama]

ИСН в сообщении #416232 писал(а):

Решение получается в виде ряда.
В моём варианте это ${x\over1+x}-{x\over1+2x}+{x\over1+3x}-{x\over1+4x}+\dots$

Черт , черт , и еще черт не угадал.... спасибо.. за решение ... [b]ИСН и Mikhail Sokolov

-- Ср фев 23, 2011 19:05:40 --

А как с этим:
$f(x)=f(\frac{x}{1-x})$ $x \in R/{1}$
тут по моему так,
$f(-1)=f(-\frac{1}2)=f(-\frac{1}3)=...\lim\limits_{n\to \infty}f(-\frac{1}n)=f(0)$
Итак , $f(x)=f(0)$ для $x \in${$-1,-\frac{1}2,...,-\frac{1}n,..$}

ошибок нету??

[myra_panama]

$f(x)+f(\frac{x}{1-x})=x$
Извините, что еще раз сообщу в эту тему, но у меня как то сомнение...
если заменим $\frac{x}{1-x}$ на x то,
$f(x)+f(\frac{x}{1+x})=\frac{x}{1+x}$ (*)
повторяя замену
$f(\frac{x}{1+x})+f(\frac{x}{1+2x})=\frac{x}{1+2x}$(**)
$f(\frac{x}{1+2x})+f(\frac{x}{1+3x})=\frac{x}{1+3x}$(***)
...................
$f(\frac{x}{1+(n-1)x})+f(\frac{x}{1+(n)x})=\frac{x}{1+(n+1)x}$

отсюда , если вычитая уравнение (*) с (**) и складывая с (***) и так далее, можно получить
$f(x)+(-1)^{n-1}f(\frac{x}{1+nx})=\frac{x}{1+x}-\frac{x}{1+2x}+...+ (-1)^{n-1}\frac{x}{1+nx}$
отсюда , при $n \to \infty$ что будеть с $(-1)^{n-1}f(\frac{x}{1+nx})$
Предел будет расходиться....
Или я что то упустил..