Нужна помощь по порядку аппроксимации (численные методы)

[DomeNatos]

Здравствуйте!

Нужна помощь по численным методам.
Пусть дана некоторая сетка с постоянным шагом h. ($x_0, x_1, ..., x_n; x=hn$)
Вопрос следующий: как оценить порядок аппроксимации полусуммы значений в соседних узлах?
То есть, например, с каким порядком схема $\frac{\cos(x_{i+1}) + \cos(x_i)}{2}$ будет аппроксимировать $\cos(x_i)$?

Пытался раскладывать как некое подобие центральной полусуммы, то есть брал $t_i=x_i+h/2$ и получалось $\frac{\cos(t_{i+1}-h/2) + \cos(t_i+h/2)}{2}$
Разложив в ряд Тейлора и сложив выражения для косинусов, поделенные пополам, получаю точность $ O(h^2) $

Не знаю правильно ли это - раскладывать в ряд Тейлора не для самого узла, а для узла $+ h/2$.

Вообще, по эмпирическим данным получается $ O(h^2) $
В общем, need help.

[ewert]

DomeNatos в сообщении #415551 писал(а):

как оценить порядок аппроксимации полусуммы значений в соседних узлах?

Судя по всему, имелось в виду: насколько отличается полусумма значений в соседних узлах от значения в средней между ними точке.

Это -- простейший частный случай задачи интерполяции. Погрешность аппроксимации интерполяционным многочленом, построенным по $n$ узлам, оценивается по общему правилу как $O(h^n)$. У Вас речь идёт о линейной интерполяции; соответственно, и погрешность будет $O(h^2)$. (Естественно, при условии достаточной гладкости.)

[DomeNatos]

Цитата:

Судя по всему, имелось в виду: насколько отличается полусумма значений в соседних узлах от значения в средней между ними точке.

Понимаете, изначально есть дифференциальная задача, которая аппроксимируется разностной схемой, имеющей в своем составе разность вида $\frac{u_{i+1}-u_i}{h}$ (где $u$ - некоторая неизвестная функция, производная которой и участвует в уравнении), а также ряд полусумм, описанных в первом сообщении. И требуется оценить порядок аппроксимации данной задачи данной разностной схемой. При этом из вида дифференциальной задачи ясно видно, что полусумма оценивает значение косинуса в узле, а не в усредненном узле.

Понятно, что разность $\frac{u_{i+1}-u_i}{h}$ оценивает производную $u'(x_i)$, причем с точностью $ O(h) $
То есть нужно остальные полусуммы оценить тоже для узла $x_i$. Возможно я неправ, и разность вида $\frac{u_{i+1}-u_i}{h}$ можно оценить для $t_i=x_i+h/2$, при сетке с шагом $h$, тогда, учитывая, что для полусумм порядок $ O(h^2) $, итог будет $ O(h^2) $.

Вопрос собственно в том, что можно ли при сетке с шагом $h$ так оценивать полусумму и разность вида $\frac{u_{i+1}-u_i}{h}$,

[ewert]

Ничего невозможно понять по этим обрывкам. Напишите саму исходную задачу и всю разностную схему.

[DomeNatos]

Дифференциальная задача:
$\frac{du}{dx} + 2u\cos x=\sin(2x) + \cos(x)$

Разностная схема:
$\frac{u_{i+1}-u_i}{h} + (\cos x_{i+1} + \cos x_i)\frac{u_{i+1}+u_i}{2}=\frac{\cos x_{i+1} + \cos x_i}{2} + \frac{\sin(2x_{i+1})+\sin(2x_i)}{2}$

Сетка строится для $x_0, x_1, ..., x_{n-1}; x_i=hi$ узлы равноотстоящие.

[ewert]

Ну второй порядок, раз всё симметрично относительно полуцелого узла.

[DomeNatos]

Спасибо за помощь!