Алгебры, Сигма-Алгебры

[ИС]

Класс всех конечных объединений промежутков вида $(a,b)$, $[a,b)$, $[a,b]$, $(a,b]$ из отрезка $[0,1] $ является алгеброй, но не является сигма-алгеброй...

Почему?

то что этот класс является алгеброй понятно, но почему же он не является сигма-алгеброй?

[ShMaxG]

А что за объекты мы можем получить с помощью счетного пересечения, но не можем с помощью конечного? В конкретном примере?

P.S. Формулы правильно оформляйте, пожалуйста...

[ИС]

ShMaxG в сообщении #415466 писал(а):

А что за объекты мы можем получить с помощью счетного пересечения, но не можем с помощью конечного? В конкретном примере?

Ничего в голову не приходит... =(

[ShMaxG]

ИС в сообщении #415486 писал(а):

Ничего в голову не приходит... =(

Да ладно. Сравните -- счетное число объектов и конечное их число. Организуйте на отрезке счетное число интервалов, непересекающихся.

Ах, уже опередили

[--mS--]

ShMaxG в сообщении #415492 писал(а):

Да ладно. Сравните -- счетное число объектов и конечное их число. Но здесь даже проще. Что вы можете сказать о... точках?

Наверное, то, что они заведомо принадлежат этой алгебре как разность $\{b\}=(a,\, b]\setminus (a,\,b)$?

-- Пн фев 21, 2011 23:45:48 --

ИС в сообщении #415486 писал(а):

Ничего в голову не приходит... =(

Возьмите какое-нибудь счётное объединение попарно непересекающихся интервалов, чтоб лежало в отрезке $[0,1]$.

[ИС]

Попарно не непересекающиеся интервалы, которые лежат на отрезке $[0,1]$ и которых счетное число могут выглядеть так?

$(k_0, k_1), (k_1, k_2), ... , (k_n, k_{n+1}) ...$

где
$k_0 = 0$$, $ k_1 = 1/2$ , $k_2 = k_1 + \frac{1-k_1}{2}$, ...., $k_n = k_{n-1} + \frac{1-k_{n-1}}{2}$

Если я их объединю то у меня получиться отрезок $[0,1]$ без точек $k_i$

И почему это не элемент сигма-алгебры?

[PAV]

Да возьмите просто множество всех рациональных чисел.

[ShMaxG]

ИС
Это элемент сигма-алгебры. Но не элемент алгебры.

[ИС]

ShMaxG в сообщении #415523 писал(а):

ИС
Это элемент сигма-алгебры. Но не элемент алгебры.

Ну пожааалуйста, объясните, почему? =(

[--mS--]

ИС в сообщении #415545 писал(а):

ShMaxG в сообщении #415523 писал(а):

ИС
Это элемент сигма-алгебры. Но не элемент алгебры.

Ну пожааалуйста, объясните, почему? =(

По определению, и то, и другое.

[PAV]

У Вас же в условии задачи описаны все множества, входящие в рассматриваемую алгебру. А построенное множество явно не имеет такого вида.

[ИС]

ИС в сообщении #415506 писал(а):

Попарно не непересекающиеся интервалы, которые лежат на отрезке $[0,1]$ и которых счетное число могут выглядеть так?

$(k_0, k_1), (k_1, k_2), ... , (k_n, k_{n+1}) ...$

где
$k_0 = 0$$, $ k_1 = 1/2$ , $k_2 = k_1 + \frac{1-k_1}{2}$, ...., $k_n = k_{n-1} + \frac{1-k_{n-1}}{2}$

Если я их объединю то у меня получиться отрезок $[0,1]$ без точек $k_i$

И почему это не элемент сигма-алгебры?

хм... т.е. если я объеденю, только N этих интервалов то это будет элемент алгебры и сигма-алгебры, если я объеденю все из них, то это будет элемент только сигма-алгебры?

-- Вт фев 22, 2011 15:01:16 --

PAV
Я первый раз сталкиваюсь с такими множествами... по этому условие мне пока не кажется достаточно информативным =(

[ShMaxG]

ИС в сообщении #415724 писал(а):

т.е. если я объеденю, только N этих интервалов то это будет элемент алгебры и сигма-алгебры, если я объеденю все из них, то это будет элемент только сигма-алгебры?

Да (правда, при условии, что исходное семейство множеств порождает сигма-алгебру).

Кароче. Если бы исходный класс был бы сигма-алгеброй, то он по определению обязан содержать множество, которое Вы построили. Но, опять же, по условию Ваш класс -- это класс все конечных объединений [промежутков], при помощи которых Вы не получите построенное множество. А должны получить, ибо мы приняли, что этот класс -- сигма-алгебра. Противоречие. Значит - ...

[ИС]

ShMaxG

Значит класс конченых объединений не может быть сигма-алгеброй. =)
Спасибо ) с этим я разобрался.

А если бы это у нас был класс и конченых и бесконечных объединений промежутков, то тогда бы этот класс был бы и сигма алгеброй и алгеброй? или я опять что-то путаю...

[ShMaxG]

ИС в сообщении #415773 писал(а):

Значит класс конченых объединений не может быть сигма-алгеброй. =)

Осторожно, это в нашем примере так случилось. Придумайте контрпример на это Ваше высказывание

Если бы в условии задачи был дан класс не конечных, а счетных объединений этих промежутков, то, фактически по определению, мы бы получили сигма-алгебру.