Функция

[alizes]

Народ, помогите пожалуйста с таким для Вас (наверно) легким вопросом. Математика по сути дела у меня уже была оочень давно, а сейчас срочно надо это помочь сделать.

Вопрос заключается вот чем:
Дана функция f(x)= - x² + x
1) Найти область определения и область значений ( Я так понимаю что в обоих случаях R)
2) Проанализировать, доказать свойствами, что функция Иньктивна, Сюрьективна и Биективна ( если она такова).Читала в википедии про это, но сопоставить с данной функцией правильно не удалось)
3) Найти обратную к ней функцию.

Заранее спасибо за помощь, срочно очень надо!

Отделено от темы http://dxdy.ru/topic42395.html

alizes,
здесь рассказано, как набирать формулы.

[maxmatem]

alizes

Цитата:

Иньктивна, Сюрьективна и Биективна

А приведите соответствующие определения, а потом посмотрим, чего не ясно.

[alizes]

Определения мне мало чем помогли, хотя бы потому что я не знаю как доказать это в свойствах


Сюрьекция - Отображение F:X\to Y называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть \forall y\in Y\exists x\in X:y=F(x). Для случая числовых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения».
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/200px-Surjection.svg.png

Иньекция
ОтображениеF:X\to Y называется инъекцией (или вложением, или отображением «в»), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (F(x)=F(y) \Rightarrow x=y). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Injection.svg/200px-Injection.svg.png

И Биекция собственно: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0% ... 0%B8%D1%8F

[maxmatem]

alizes
Ну давайте с инъективности начнём. Вот вам нормальное определение. Если из $f(x)=f(y)$ будет следовать
$x=y$, то функция $f(x)$ является инъективной.. Теперь просто проверьте. Хотя нарисуйте график и всё станет ясно.
И кстати свойство инъективности является необходимым для биективности ф-ии, так что с него было бы не плохо и начать.

[alizes]

Тогда, если построю такой график и укажу, что $f(x)=f(y)$ , то этого будет достаточно для доказательства иньективности? только при x=y = 0, и если приближении считается то, x=y = 0, 2...Так подойдет?

[maxmatem]

И так ваш вывод? ф-ия инъективна? (Контрпример является доказательством)

[alizes]

Про биективность вот, что еще нашла : Функция f:X\to Y является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция. Как выглядит обратная функция?Надо выразить x через y...
-x² +x = y
x(-x+1) = y
-x + 1 = y
x=1-y ?
Не помню совсем это ((

-- Пн фев 21, 2011 23:26:28 --

Нет, наверно не иньективна если исходить из условия что ВСЕГда должен x=y. Так какой ответ правильный то?

[caxap]

alizes
Между уравнениями всегда явно ставьте знаки $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ или $\Leftrightarrow$. Тогда таких ошибок не возникнет.

Биекция -- это инъекция и сюръекция одновременно.

[alizes]

Ничего не поняла где ставить? Так иньективна или нет?

[PAV]

alizes в сообщении #415537 писал(а):

Иньекция
ОтображениеF:X\to Y называется инъекцией (или вложением, или отображением «в»), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

$f(0)=f(1)=0$

Вопросы есть?

[maxmatem]

alizes
Ну давайте так рассуждать. Пусть ваша функция инъективна. Значит для неё выполнено условие Если из $f(x)=f(y)$ будет следовать $x=y$
А вот например возьмём и посмотрим а вединственной ли точке наша ф-ия принимает ну например значение $-1$ ??
Имеем $x-x^{2}=-1$, т.е $x^{2}-x-1=0$. Решая данное уравнение имеем $\[ \begin{gathered} x_1 = \frac{{1 + \sqrt 5 }} {2} \hfill \\ x_2 = \frac{{1 - \sqrt 5 }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]$
а они очевидно не равны , а по предположению ф-ия инъективна, вот и противоречие, значит не инъективна !ясно?

[alizes]

ЯЯсно, ох как долго же вы меня томили ))) А как с биективностью и с обратной функцией?

[maxmatem]

alizes

Цитата:

свойство инъективности является необходимым для биективности ф-ии,

Внимание вопрос А может ваша ф-ия быть биективной??

[alizes]

Ну значит нет -да, но и тогда обратной не может быть?

[maxmatem]

Кстати на счёт сюрьекции. Вот скажите хотя бы даже глядя на график ф-ии, все ли $y$-ки задействованы?

-- Вт фев 22, 2011 01:34:58 --

Цитата:

Ну значит нет -да

Уж извините этого я не понял.
Да ваша ф-ия не имеет обратной, как раз из-за нарушения св-ва инъективности.