Плотность чисел вида p^aq^b

[Sonic86]

Докажите (ну или опровергнуть попробуйте - я не уверен), что для $\pi _{(a_1;a_2)}(n) = \sum\limits_{p_1^{a_1}p_2^{a_2} \leq n} 1$, где $p_j$ - простые, $p_1 \neq p_2$
1. $a_1 \neq a_2 \Rightarrow \pi _{(a_1;a_2)} \sim C(a_1;a_2) \frac{n}{\ln ^2 n}$
1. $a_1 = a_2 = a \Rightarrow \pi _{(a;a)} \sim C(a;a) \frac{n}{\ln n} \ln \ln n$
Попробуйте найти $C(a_1;a_2)$.

[Руст]

Не очень понятно условие. Как я понимаю $a_1,a_2$ фиксированные натуральные числа, а суммирование ведется по парам простых (не равных) чисел. Тогда ясно, что $p_1\le n^{1/a_1}$ аналогично для $p_2$. Соответственно сумма меньше, чем $\pi(n^{1/a_1})\pi(n^{1/a_2})$, что растет явно медленнее вашей оценки при больших $a_1,a_2$.

[Sonic86]

Черт! Неправильно написал! Показатели при степенях забыл!
Правильно так:
1. $a_1 \neq a_2 \Rightarrow \pi _{(a_1;a_2)} \sim C(a_1;a_2) \frac{n^{\max \{\frac{1}{a_1};\frac{1}{a_2} \}} }{\ln ^2 n}$
2. $a_1 = a_2 = a \Rightarrow \pi _{(a;a)} \sim C(a;a) \frac{n^\frac{1}{a}}{\ln n} \ln \ln n$

[Руст]

$$\pi(a_1,a_2,n)=\sum_{p\le n^{1/a_1}}\pi'((\frac{n}{p^{a_1}})^{1/a_2}).$$

Здесь $\pi'$ означает, что число $p$ исключается из суммы, т.е. $\pi'(x)=\pi(x),p^{a_1+a_2}>n$ и $\pi'(x)=\pi(x)-1, p^{a_1+a_2}\le n$.
Суммирование по простым заменяется на суммирование по $n$ с весом $\frac{1}{\ln n}$ (верно с точностью до главного члена, потом к интегрированию. Это даст $\int_1^{n^{1/a_1}}\frac{n^{1/a_2}}{x^{a_1/a_2}\ln x}$. по симметрии можно считать $a_1\le a_2$ и это даст $\frac{a_2}{a_2-a_1}n^{1/a_1-1/a_2}/\ln n$ в случае $a_1<a_2$. Случай $a_1=a_2=a$ сводится к $\pi(1,1,n^{1/a})$ и оценка правильная.

[Sonic86]

Угу, по смыслу так же считал. А какая $C(1;1)$ хотя бы? у меня с ней глюки. В книжке написано $C(1;1)=1$, а у меня вот таким путем $C(1;1)=2$ получается
И еще: Вы $\pi (x)$ заменили ей эквивалентной даже для $x$ близкого к $1$. А разве так можно асимптотику применять?

[Руст]

Sonic86 в сообщении #415312 писал(а):

Угу, по смыслу так же считал. А какая $C(1;1)$ хотя бы? у меня с ней глюки. В книжке написано $C(1;1)=1$, а у меня вот таким путем $C(1;1)=2$ получается
И еще: Вы $\pi (x)$ заменили ей эквивалентной даже для $x$ близкого к $1$. А разве так можно асимптотику применять?

Вы правы. Замена на интегрирование для положительных монотонных работает, но замена суммирования по простым при близких не работает.
Поэтому надо асимптотический разложить на две суммы $p_1^{a_1}\le \sqrt n$ и $p_2^{a_2}\le \sqrt n$. Тогда это работает, так как $\pi(x(1+\epsilon))/\pi(x)-1=O(\epsilon)$ и сумму можно разбить на сумму между интервалами между $x$ и $x(1+\epsilon)$ где работает асимптотическая оценка для количества простых чисел.
Соответственно

$$\pi(a_1,a_2,n)=(\int_1^{n^{1/2a_1}}\frac{n^{1/a_2}dx}{x^{a_1/a_2}\lnx} +\int_1^{n^{1/2a_2}}\frac{n^{1/a_1}dx}{x^{a_2/a_1}\ln x})(1+o(1)).$$

[Sonic86]

Так, для $a_1 \neq a_2$ я наврал: в знаменателе всегда стоит $\ln n$ в 1-й степени. А вот для $\pi _{(a_1;...;a_k)}(n)$ не могу допереть - от чего зависит наличие $\ln _2 n$ и степень его.

[Руст]

Зависит от наличия одинаковых среди $a_i$. Если нет, то нет членов, содержащих $\ln \ln n$. Когда максимальная длина одинаковых $a_{i_1}=a_{i_2}=...=a_{i_l}$ равен l, то должен появится многочлен степени $l-1$ от $\ln \ln n$.

[Sonic86]

Ага, то есть если чисел всего $l$, а различных среди них - $s$, то должно быть $l-s$. Попробую это как-то точно доказать, а то мне мерещиться, что еще зависит от $a_j=1$...