изменение диф.уравнения при дополнительных условиях

[spyphy]

Вопрос физического содержания, хотя в виду его абстрактности с виду может показаться математическим.
Предположим, имеется система следующих диф. уравнений
$ \frac{dx}{dt} = z - y, $
$ \frac{dy}{dt} = x - z, $
$ \frac{dz}{dt} = y - x, $
$ x(0)=x_0, y(0)=y_0, z(0)=z_0 $
которое описывает изменение во времени некоторой векторной физической величины $\vec r =(x,y,z)$. (можно считать, что такой закон изменения величины получен опытным путем при некоторых фиксированных условиях окружающей среды). Это величина не обязательно есть радиус-вектор и не обязательно механического характера. Из этих уравнений следует, что $ r^2 = (\vec r) ^2 = x^2+y^2+z^2= (x_0)^2+(y_0)^2+(z_0)^2= (r_0)^2 = const$. То есть модуль этой векторой величины не меняется.
До сих пор всё хорошо. Но теперь предположим, что каким-то независимым причинам модуль этой физической величины со временем всё же изменился... допустим, по закону$r=r_0(1-t)$. Причины эти просто не входят в исходное уравнение, они могут быть другой природы, которые мне мало известны (или скажем, эта величина меняется сама по себе не зависимо от правой части уравнений). Возникает необходимость так изменить эти уравнения, чтобы они продолжали верно описывать изменения величины (т.е. с учетом изменения модуля тоже. Напомню, что исходные уравнения модуля не меняют).
У меня есть два варианта как это сделать, которые дают прямо противоположные эффекты... Приведу один из них, возможно более правдоподобный. В общем, в этом случае вводятся новые переменные
$ x_1=x(1-t), z_1=z(1-t),z_1=z(1-t) $
откуда $ x=x_1/(1-t) $ и т.д., и подставляем его в исходное уравнение и получаем что-то вроде (если я не ошибся):
$ \frac{dx_1}{dt} = z_1 - y_1 - \frac{1}{1-t} x_1 $.
Во втором варианте, наоборот, в исходную систему вместо $x$ просто подставлялся $x_1$.
В общем, мне надо знать, несколько оправданы такие трансформации (и что они могут дать)...

[Утундрий]

spyphy в сообщении #415150 писал(а):

так изменить эти уравнения, чтобы они продолжали верно описывать изменения величины

Что значит "верно"?

[spyphy]

А ну в смысле относительно "верно", т.е. лучше или ближе к реальности, чем другие возможные варианты (об идеальности здесь никто не говорит).
В качестве векторной величины для определенности можно рассматривать механический момент, хотя я не уверен, что это лучшая аналогия.

[Утундрий]

Пока что речь идет о замене одной системы некоторой другой, без какого либо указания свойств первой системы, которые было бы желательно сохранить во второй. Результатом такой замены будет какая угодно система.

[myhand]

spyphy в сообщении #415150 писал(а):

Но теперь предположим, что каким-то независимым причинам модуль этой физической величины со временем всё же изменился... допустим, по закону

Хорошо, допустим.

spyphy в сообщении #415150 писал(а):

Возникает необходимость так изменить эти уравнения, чтобы они продолжали верно описывать изменения величины (т.е. с учетом изменения модуля тоже. Напомню, что исходные уравнения модуля не меняют

Ну, например, для _заданного_ закона $r(t)$ вы можете сказать $\frac{x(t)}{r(t)}^2 + \frac{y(t)}{r(t)}^2 + \frac{z(t)}{r(t)}^2 = {\mathrm const}$. А дальше провести замену $x(t)\to x(t)/r(t)$ и т.д. в ваших "уравнениях". Например, первое меняется на $\frac{d}{dt}\left(\frac{x}{r(t)}\right) = \frac{z - y}{r(t)}$

Это некорректно поставленная задача. Она в принципе не имеет единственного решения.

[spyphy]

myhand писал(а):

Ну, например, для _заданного_ закона $r(t)$ вы можете сказать $\frac{x(t)}{r(t)}^2 + \frac{y(t)}{r(t)}^2 + \frac{z(t)}{r(t)}^2 = {\mathrm const}$.

ну да, я собственно так и делал... да, задача некорректная, но что ж тут поделаешь. Хорошо, по крайней мере буду знать, что нет более оптимальных вариантов ее решения.

[Утундрий]

spyphy
О каком решении Вы толкуете, не понимаю. Задачи попросту нет.

[spyphy]

да, просто не получается сформулировать задачу...
Но я так думаю, что такая искусственная модификация в первом приближении может сгодится, но вообще говоря, наверное, в общем случае здесь нужно учитывать и другие обстоятельства... (т.е. выводить уравнения исходя из физических законов стало быть, если правда это возможно, что не всегда так)

[myhand]

spyphy в сообщении #415244 писал(а):

Хорошо, по крайней мере буду знать, что нет более оптимальных вариантов ее решения.

Ан может есть. Еще раз: задача некорректно поставлена. Об "оптимальности" ее "решения" можно будет говорить только после введения критериев такой оптимальности. И определения того, что является решением проблемы.

Возьмите любую систему трех уравнений, имееющую интеграл $x^2+y^2+z^2$, а затем проведите предложенную мной выше подстановку. Чем получившийся результат не удовлетворяет Вашему непонятному критерию "быть изменением этих уравнений".

[Утундрий]

spyphy
У Вас была модель, приводящая к некоторой определенной динамике. Вы провели эксперимент и оказалось, что динамика эта - не совсем та динамика и нужно придумывать новую модель. Теперь, внимание - вопрос: первая модель хоть что-то правильно предсказывала? Если да, то есть о чем говорить, если же нет - тогда вайяте модель новую без оглядок на модель старую.

[spyphy]

Вернее так. Имеется некоторая стандартная общепринятая модель (или даже почти физический закон), которая справедлива только при определенных условиях. А мне требуется во чтобы то ни стало применить эту модуль при тех условиях, на которые она вообще говоря не рассчитана. Изобретение чего-то нового выходит за пределы наших возможностей. В общем ладно с этим, обойдемся.
Касательно имеющихся уравнений... Если я правильно понимаю, то решив систему
$\frac{dx}{dt} = z - y,$
а потом умножим полученное решение на $1-t$, мы получим тоже самое, что и напрямую решая уравнения
$ \frac{dx_1}{dt} = z_1 - y_1 - \frac{1}{1-t} x_1 $,
не так ли? В таком случае получается, что нет и особой нужды в изменении этих уравнений.

[Munin]

Ваша система уравнений - это некоторое уравнение первого порядка относительно вектора (абстрактного, не лежащего в нашем физическом пространстве):
$\dfrac{d}{dt}\mathbf{V}=\mathbf{F}(\mathbf{V})$
Вначале вы имели такое уравнение, в котором траектории лежали на сфере, потом такое, что траектории не лежат на сфере. Но это неважно. Важно, что уравнение первого порядка полностью задаётся своими траекториями - оно эквивалентно тому, как если бы вы расчертили пространство векторов $\mathbf{V}$ линиями - решениями этого дифура. Поэтому всё, что вам нужно сделать для однозначного восстановления этого уравнения - это просто промерять все траектории.