Одно неравенство из АГ.
Пусть
![$g \in \mathbb N, q$ $g \in \mathbb N, q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/b/d8bd14e5d5e80b59818ddf88141c87cf82.png)
- простое.
Даны
![$\{ \alpha_i \}_{i=1}^{2g} \subset \mathbb C$ $\{ \alpha_i \}_{i=1}^{2g} \subset \mathbb C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/4/284a90ccf54a1fc5b00a2d86f090a30882.png)
такие, что
![$\forall n \geq 1: \ |\sum\limits_{i=1}^{2g} \alpha_i^n| \leq 2 g q^{n/2}$ $\forall n \geq 1: \ |\sum\limits_{i=1}^{2g} \alpha_i^n| \leq 2 g q^{n/2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/9882a1e305c4a9b763939f22ac32f46782.png)
. Требуется доказать, что
![$\forall i \ |\alpha_i| \leq q^{1/2}$ $\forall i \ |\alpha_i| \leq q^{1/2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/9/cd91466bce972114fcc2ae2f8bd69a8982.png)
.
Один вариант.
Допустим, что это не так,
![$\exists \alpha_{i_0}: |\alpha_{i_0}| > q^{1/2}$ $\exists \alpha_{i_0}: |\alpha_{i_0}| > q^{1/2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/c/33ce521410215e2691accb9e9515dbdf82.png)
.
Перенумеруем
![$\{ \alpha_i \}_{i=1}^{2g}$ $\{ \alpha_i \}_{i=1}^{2g}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d44a1cbd12515ef5d3d409dd531fc9b482.png)
так, чтобы первые
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
членов были ненулевые.
Рассмотрим
![$\hat{\beta}:= (\alpha_1 / |\alpha_1|,\alpha_2 / |\alpha_2|,\dots,\alpha_m / |\alpha_m|) \in S^m$ $\hat{\beta}:= (\alpha_1 / |\alpha_1|,\alpha_2 / |\alpha_2|,\dots,\alpha_m / |\alpha_m|) \in S^m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/b/07b8b57f76d18fba266ec2c6f128b66a82.png)
, т.е. на
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
-мерном торе. Покажем, что
![$\{ \hat{\beta}^k\}_k$ $\{ \hat{\beta}^k\}_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/2/e12f3301a2208e9ccfa8feb0c9a1ea6e82.png)
имеет сходящуюся подпоследовательность к точке
![$(1,\dots,1)$ $(1,\dots,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26e233674eab0d4c8dcde1e7f8bfe87482.png)
.
Для этого можно попробовать применить т. Пуанкаре о возвращении, но сначала найдем все те
![$\alpha_i / |\alpha_i| = \frac {p_i} {q_i} 2 \pi$ $\alpha_i / |\alpha_i| = \frac {p_i} {q_i} 2 \pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/4/814747bc133cf20af8d4a440731088df82.png)
, соизмеримые с
![$2 \pi$ $2 \pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/f/70f9064f0ff73b7e521f0c1563932b2f82.png)
; пусть
![$N = $ $N = $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/4/184cc5daa71fcac8254eccf1a9fd960182.png)
произведение всех соотв.
![$q_i$ $q_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/9294da67e8fbc8ee3f1ac635fc79c89382.png)
; и будем рассматривать лишь подпоследовательность из оставшихся, несоизмеримых
![$\alpha_i$ $\alpha_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67e7dd600dde6ca2d15b4df76a96110b82.png)
,
![$\beta^l:= (e^{i \varphi_1 Nl},e^{i \varphi_2 Nl},\dots,e^{i \varphi_k Nl})$ $\beta^l:= (e^{i \varphi_1 Nl},e^{i \varphi_2 Nl},\dots,e^{i \varphi_k Nl})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/f/bbffbe17db6e7a6d1be9d2d00e56577382.png)
. Ясно, что если она содержит нужную подпоследовательность, то и исходная тем более.
Теперь пусть
![$g: (S^1)^k \to (S^1)^k$ $g: (S^1)^k \to (S^1)^k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/e/37e06c4481615286cfe49ada3dacb2e182.png)
определяется как
![$(x_1,x_2,\dots,x_k) \to (x_1 e^{i N \varphi_1},x_2 e^{i N \varphi_2} ,\dots,x_k e^{i N \varphi_k})$ $(x_1,x_2,\dots,x_k) \to (x_1 e^{i N \varphi_1},x_2 e^{i N \varphi_2} ,\dots,x_k e^{i N \varphi_k})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/a/25ae9830aa55cfecc3d92525014d375182.png)
. Очевидно, что это гомеоморфизм сохраняющий меру (меру произведения, например) тора на себя. Тогда по т. Пуанкаре о возвращении у точки
![$(1,\dots,1)$ $(1,\dots,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26e233674eab0d4c8dcde1e7f8bfe87482.png)
в любой окрестности
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
существуют точки вида
![$g^l x, \ x\in U$ $g^l x, \ x\in U$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/c/14cfddbcc1b2750deabc7bb75262c63b82.png)
. Отсюда нужно вывести то, что и сама точка
![$(1,\dots,1)$ $(1,\dots,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26e233674eab0d4c8dcde1e7f8bfe87482.png)
бесконечно много раз возвращается в
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
, но тут как раз вопрос.
Если все так, то можно выбрать сходящуюся к
![$(1,\dots,1)$ $(1,\dots,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26e233674eab0d4c8dcde1e7f8bfe87482.png)
подпоследовательность
![$\{ \hat{\beta}^k\}_k$ $\{ \hat{\beta}^k\}_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/2/e12f3301a2208e9ccfa8feb0c9a1ea6e82.png)
.
Т.о. для всех ненулевых
![$\alpha_i \ \exists N: \forall n > N \ \alpha_i^n > |\alpha_i|^n - \varepsilon$ $\alpha_i \ \exists N: \forall n > N \ \alpha_i^n > |\alpha_i|^n - \varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/f/9ffc9c5049bd4e0c1c799743709992f882.png)
для малого
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
. Тогда
![$\forall n > N \ |\sum\limits_{i=1}^{2g} \alpha_i^n| > |\alpha_{i_0}|^n - \varepsilon$ $\forall n > N \ |\sum\limits_{i=1}^{2g} \alpha_i^n| > |\alpha_{i_0}|^n - \varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/5/5c53263791441c89046bf4d710a9e34282.png)
, что при достаточно большом
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
больше чем
![$2 g q^{n/2}$ $2 g q^{n/2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/b/b1be4f34e55f1a5e75f4556efac188db82.png)
т.к.
![$ |\alpha_{i_0}| \ge q^{1/2}$ $ |\alpha_{i_0}| \ge q^{1/2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/9/3c99a72df41d76a53256f7701c038d0482.png)
. Противоречие.
Все ли верно? Как закрыть брешь в док-ве?
И как можно провести альтернативное док-во, в котором согласно подсказке нужно рассмотреть разложение в ряд
![$\sum\limits_{i=1}^{2 g} \frac {\alpha_i t} {1-\alpha_i t}$ $\sum\limits_{i=1}^{2 g} \frac {\alpha_i t} {1-\alpha_i t}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/d/92d55589d04a50669fd71240eccb3adc82.png)
?