маятник с жидкостью

[Diffeomorfizm]

Здравствуйте, прошу помочь советом или ссылкой на литературу в следующей задаче:
Имеется физический матник квадратной формы, подвешенный за у. Внутри маятника находится несжимаемая вязкая жидкость. Маятник отклоняется на какой-то угол и отпускается. Необходимо получить поле скорости жидкости и закон движения маятника. При решении данной задачи возникли проблемы)
для мат. описания использовал двумерные уравнения Навье-Стокса в системе координат связанной с маятником, при этом в Навье-Стоксе появился доп. источник связанный с неинерциальностью системы отсчета.
для нахождения движения маятника использовал закон сохранения момента:

$$J_0\ddot\varphi+mgL\sin(\varphi)+\rho\frac{d}{dt}\int (xv-yu) d\tau=0$$

решалось все это численно: при помощи алгоритма SIMPLER рассчитывалась гидродинамика, затем неявным методом Адамса 4-го порядка считалось уравнение для $\varphi$ и все это итерационно пересчитывалось. Дак вот собсна, загвоздка в том, что значение $\varphi$ быстро затухало, чего быть не может (считал для Ид. жидкости там тоже быстро затухает) и никак понять не могу почему так. Мельчил сетку для уравнений гидродинамики, затухание замедлялось, но уж слишком медленно. при увеличении с 40000 до 90000 ячеек значение $\varphi$ увеличилось на тысячные доли процента, а нужно на 0.9%. уменьшение шага по времени и увеличение порядка в Адамсе ничего не дает. Совсем не знаю что делать дальше((Может где-то принципальная ошибка...

Вот еще: писал закон сохранения энергии, дифференцировал и получал уравнение, которое сводится к выше написанному при подставлении в него уравнений Навье-Стокса. Это уравнение вроде как лучше, но там сидит $\dot\varphi$ в знаменателе, а в числителе производная от кинетической энергии жидкости. И в точках поворота это выражение становится большим, так что нелин. уравнение, получившиеся в методе Адамса не сходится. (явный не считает, как я понимаю получается жесткий диффур). НО, для идеальной жидкости и для малых колебаний, я все-таки смог посчитать, правда не много, всего несколько периодов, причем чем мельче я брал сетку тем больше периодов считал. А для вязкой жидкости ни в какую (брал максимум 250000 узлов, больше не могу))))

Вот и прошу совета, может кто-нибудь решал уже подобные задачи.

[Zai]

Вам как-то необходимо на каждом шаге по времени оценивать общую кинетическую и потенциальную энергию, да и импульс тоже. Возможно неконсервативность алгоритмов приводит к потере и энергии и импульса. В технике известны инерционные демпферы с камерами жидкости подобной Вашей камере. Что-то похоже что Ваш хороший физический маятник действительно имеет большой коэффициент демпфирования.

[Diffeomorfizm]

Zai в сообщении #412576 писал(а):

приводит к потере и энергии и импульса.

вы правы; энергия там действительно теряется, хоть для ид. жидкости, хоть для вязкой. Вот ведь неприятность)

[Zai]

Как-то Ваше приведенное уравнение движения маятника неуютно. Лучше Вам записать его в интегральном виде для давления на стенку с добавками от касательных напряжений (вторые малосущественны при больших числах Рейнольдса).
В предположении что угловая скорость изменяется медленно можно использовать для Вашего квадрата гипотезу о изменении вектора ускорения - такие задачи во времена военно-промышленного комплеса решались для полузаполненных баков ЛА.

[Diffeomorfizm]

а да, кстати, забыл сказать: полость целиком заполнена жидкостью.

[Diffeomorfizm]

ну в общем-та написал через поверхностные силы, получилось довольно-таки громоздкое ур-е:

$$J_0\ddot\varphi+mgL\sin(\varphi)+\int_{0}^{a} x[p(x,a)-p(x,0)]dx-y[p(a,y)-p(0,y)]dy+D=0$$

где D - касательные напряжения, их долго выписывать в развернутом виде, а в векторном виде пока не получатся записать)

[Diffeomorfizm]

поправка: D - вязкие напряжения.
в тензорном виде так: $D=0.5\mu\int_{0}^{a}(\nabla_k u_i+\nabla_i u_k)n_i d\sigma$ где i,k = x,y, а интегрирование по сторонам квадрата.

[Zai]

Такие задачи совместно не решают. Задайте синусоидальное движение маятника с постоянной амплитудой. Линейные ускорения очевидно не скажутся на движении в полости - из-за полной заполненности. Воздействием будет переменная угловая скорость. При ее анализе воздействия можно перейдти к квадрату в декартовой системе координат с центром квадрата в центе системы координат. Посчитайте отклик на колебания и фазу запаздывания момента по времени - он даст Вам декремент.

[Diffeomorfizm]

в общем, запутался я)
поосле попыток распутаться получил следующее уравнение через напряжения:

$$J_{rb}\ddot\varphi+MgL\sin(\varphi)+\int_{0}^{a} x[p(x,a)-p(x,0)]dx-y[p(a,y)-p(0,y)]dy+D=0$$

где, $J_{rb}$ - момент инерции полости, как твердого тела, M - суммарная масса (тело+жидкость), p - поправка к гидростатическому давлению (отсюда в коэфф. при синусе вылезла масса жидкости, если считать давление как p+$p_{gidr}$, то масса жидкости исчезнет)

путаница возникла, потому что я считаю, что масса полости, как твердого тела равна нулю (может это и есть та принципиальная ошибка!?)

Zai в сообщении #413532 писал(а):

Посчитайте отклик на колебания и фазу запаздывания момента по времени - он даст Вам декремент

это дипломная задачка. Хотел сначала сделать расчет с синусоидальным колебанием, а потом целиком посчитать. Видимо придется довольствоваться оценками)

[Zai]

Цитата:

дипломная задачка

Потому и защита диплома - когда Вы в состоянии изменить постановку задачи и ее защитить. Я предлагаю Вам решить сначала задачу о затухающих колебаниях в более простой постановке - колебаниях кавдратной полости относительно оси центра квадрата. Жесткие стенки подпружинены моментной пружиной$M=k \phi$. Даже проще - пусть это будет круг (площадь ограниченная окружностью). Для последнего случая уравнения движения - проще простого. Задача гидродинамики вязкой жидкости - одномерное нестационарное уравнение Н-С в полярной системе координат - оно решается в рядах. Если у Вас есть соответствующая квалификация то это два дня работы аналитически и столько же если ее решать численно.

[Diffeomorfizm]

судя по-всему квалификации у меня нету:)
да и как-то сомневаюсь что даже такая простая линейная задача имеет аналитическое решение, хотя бы и через ряд.
Не, когда задано граничное условие как функция времени, я это решу как разложение по ф-м Бесселя.
А вот когда гран. условие находится из уравнения колебаний, в которое входит неизвестная скорость. тут я бессилен)
тут только если приближенное находить) а в нем особого смысла не вижу, т.к. могу численно посчитать. И посчитаю тут целиком задачу. Все-таки она одномерная, может тут все хорошо получится)

[Zai]

$\frac {\partial U_{\theta}} {\partial t} =\nu \frac 1 r \frac {\partial } {\partial r}(r \frac {\partial U_{\theta}} {\partial r})$
$U_{\theta}}(t,r_0)=a_0 \omega \sin \omega t$
$U_{\theta}}(t,r)=u(r) \omega \cos \omega t$
$\omega^2 u +\nu \frac 1 r \frac {d} {d r}(r \frac {du} {d r})=0$
$u(0)=0, u(r_0)=a_0 \omega$
$a_0$ - амплитуда перемещений на границе
$a_0 =r_0{\phi}$
Массы у Вашего круга не будет
$k \phi+ 2 \pi r_0 \rho \nu \frac {du(r_0)} {dr}=0$
Что-то вроде этого - проверьте на опечатки в знаках.
Все же нужен эксцентриситет - иначе массы не будет и Вы не посчитаете демпфирование.
$m L^2 \ddot {\phi}+ mgL\phi+ 2 \pi r_0 \rho \nu \frac {du(r_0)} {dr}=0$

[Diffeomorfizm]

небольшие опечатки есть:
уравнение:
$\frac {\partial U_{\theta}} {\partial t} =\nu (\frac 1 r \frac {\partial } {\partial r}(r \frac {\partial U_{\theta}} {\partial r})-\frac{U_{\theta}} {r_{^2}})$
ну и решение его так просто не найти) там же если предствалять его в таком виде, то при подстановке временные множители не сокращатся)
но один фиг, при заданном синусоидальном граничном условии, при помощи того же преобразования Лапласа я найду $U_{\theta}$ как разложение по Бесселям.

Но! это получится, что я найду $\phi$ только в первом приближении. Точное-то не находится) Тут правда нужно еще сделать оценки всяких членов, достаточно ли этого приближения)
Я в выходные постараюсь посчитать численно и сравнить с поученным первым приближением)

[Zai]

Как не сокращаются?
Примените процедуру собственных векторов .
$U(r,t)=u_1(r) \sin \omega t + u_2(r) \cos \omega t$
Получается пара дифуравнений втрого поряда.
Что-то я не понимаю Вашей добавки к оператору Лапласа - посмотрите в Википедии.

[Diffeomorfizm]

вы смотрите на Лапласиан от скалярной величины, а в Навь-Стоксе Лапласиан от векторной, т.е. тут идут еще проекции Лапласиана на криволинейные оси. Проще записать Лапласиан через $graddiv-rotrot$

Zai в сообщении #414616 писал(а):

Как не сокращаются?Примените процедуру собственных векторов

что-то я вас тоже не понимаю), а как вы собираетесь удовлетворять граничным и начальным условиям?