Задача на линейные операторы

[Alex_1]

ewert в сообщении #414035 писал(а):

caxap в сообщении #414027 писал(а):

Как это матрица может быть сразу в паре базисах? Вам нужно найти отдельно матрицу в $e$ и в $f$.

Вот именно это как раз и не нужно. По условию требуется найти матрицу именно в паре базисов. Это значит, что для векторов на входе используется первый базис, а для векторов на выходе -- второй. Матрица будет, естественно, единичной.

Извините, что беспокою, а можно, пожалуйста, поподробнее расписать решение. Буду признателен.

[ewert]

Alex_1 в сообщении #414241 писал(а):

Осталось найти матрицу оператора в паре базисов е и f.

Если оператор каждый элемент первого базиса переводит в такой же по номеру элемент второго базиса, то матрица оператора в этой паре базисов является единичной по определению матрицы оператора.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

$$(Ax)_f = A_f x_f = \left(P_{f\to e} A_e P_{e\to f}\right) x_f = \left(P_{f\to e} A_e \right) \left(P_{e\to f}x_f\right) = \left(P_{f\to e} A_e \right) x_e.$$

Значит ли это, что $A_{e\to f} = P_{f\to e} A_e$? Потому что тогда, если дано, что $A_e = P_{e\to f}$, то, конечно же, $A_{e\to f} = P_{f\to e}P_{e\to f} = E$.

[ewert]

Не понимаю, чего это все носятся с несчастными матрицами перехода как с писаной торбой, тем более они и определяются-то неоднозначно (т.е. в разных курсах немного по-разному). По определению матрицы оператора (ну во всяком случае по одному из эквивалентных определений) элемент $a_{ik}$ этой матрицы есть $i$-я координата вектора $\widehat A\vec e_k$ в базисе $\{\vec f_j\}$, т.е. $i$-й коэффициент разложения вектора $\widehat A\vec e_k$ по векторам $\{\vec f_j\}$. Во всяком случае, это надо твёрдо помнить. Здесь же по условию задачи $\widehat A\vec e_k=\vec f_k\ (\forall k)$ и, следовательно, матрица в этой паре базисов -- единичная.

[svv]

ewert писал(а):

По определению матрицы оператора (ну во всяком случае по одному из эквивалентных определений) элемент $a_{ik}$ этой матрицы есть $i$-я координата вектора $\widehat A\vec e_k$ в базисе $\{\vec f_j\}$, т.е. $i$-й коэффициент разложения вектора $\widehat A\vec e_k$ по векторам $\{\vec f_j\}$.

А что такое в этом определении $\vec f_k$ в общем случае -- когда оно не $\widehat A\vec e_k$? Просто ещё один базис, в котором мы зачем-то хотим рассматривать выходные векторы, потому что два уже имеющихся базиса для этой цели нехороши?

Если оператор действует из одного пространства в другое, тогда понятно. Наверное, в этом и дело -- раз в общем случае пространства разные, то и базисы разные...

Точно.

[Alex_1]

ewert в сообщении #414303 писал(а):

Не понимаю, чего это все носятся с несчастными матрицами перехода как с писаной торбой, тем более они и определяются-то неоднозначно (т.е. в разных курсах немного по-разному). По определению матрицы оператора (ну во всяком случае по одному из эквивалентных определений) элемент $a_{ik}$ этой матрицы есть $i$-я координата вектора $\widehat A\vec e_k$ в базисе $\{\vec f_j\}$, т.е. $i$-й коэффициент разложения вектора $\widehat A\vec e_k$ по векторам $\{\vec f_j\}$. Во всяком случае, это надо твёрдо помнить. Здесь же по условию задачи $\widehat A\vec e_k=\vec f_k\ (\forall k)$ и, следовательно, матрица в этой паре базисов -- единичная.

А можно пояснить, откуда вы взяли, что по условию задачи $\widehat A\vec e_k=\vec f_k\ (\forall k)$ ?

[ewert]

Alex_1 в сообщении #415243 писал(а):

А можно пояснить, откуда вы взяли, что по условию задачи $\widehat A\vec e_k=\vec f_k\ (\forall k)$ ?

Там на картинке так написано.

[Alex_1]

Да, действительно. Матрица в паре базисов будет единичная. Задача решена.

Спасибо всем за содействие!!!