Неприводимый многочлен

[dmitryf]

Можно ли сказать, что многочлен первой степени над кольцом целых чисел приводим? Ведь он может быть разложен в произведение многочлена первой степени (с обратимым множителем) и какого-то необратимого элемента из кольца Z.

[Хорхе]

Эдак и 2 -- число не простое: $2=(-2)\cdot(-1)$.

Но нет, так сказать нельзя.

[dmitryf]

Нет, в случае 2 не получится, потому что -1 обратимый элемент кольца Z.

[mihailm]

Тогда можно сказать, что многочлен первой степени над кольцом целых чисел непрост)

[dmitryf]

То есть простота в кольце Z и неприводимость в Z[x] различаются просто по определению?

[caxap]

Присоединяюсь к начальному вопросу. Многочлены первой степени над полем неприводимы, т. к. любая константа из поля обратимая. Но в $\mathbb Z[x]$ многочлен $2x+4=2(x+2)$, а двойка необратима. Я перечитал много раз определение, но не помогло: по-моему, из него следует, что в $\mathbb Z[x]$ многочлен $2x+4$ не простой.

dmitryf в сообщении #413662 писал(а):

То есть простота в кольце Z и неприводимость в Z[x] различаются просто по определению?

Для многочленов простота и неприводимость синонимы.

[neo66]

caxap в сообщении #413672 писал(а):

Я перечитал много раз определение, но не помогло:...

Какое определение Вы прочитали?

[VAL]

caxap в сообщении #413672 писал(а):

dmitryf в сообщении #413662 писал(а):

То есть простота в кольце Z и неприводимость в Z[x] различаются просто по определению?

Для многочленов простота и неприводимость синонимы.

Я привык к таким определениям:

Пусть R - коммутативное кольцо с единицей.

Ненулевой, необратимый элемент p из R называется неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент p из R называется простым, если $\forall a,b\in R$ из условия $p|ab$ следует $p|a \vee p|b$.

Легко показать, что из простоты следует неприводимость. А обратное, вообще говоря неверно. Но если R - область главных идеалов, то и неприводимость влечет простоту.
Кольцо многочленов над полем евклидово, а значит, и область главных идеалов. Поэтому для многочленов над полем определения равносильны.

Если применить вышеприведенные определения к многочлену $2x+4$, рассматриваемому как элемент $\mathbb Z[x]$, то ясно, что он не является ни простым, ни неприводимым.

Но...
Для многочленов над полем обычно дают свое определение неприводимости:
Непостоянный многочлен называется неприводимым над данным полем, если его нельзя представить виде произведения многочленов меньшей степени с коэффициентами из данного поля.
Если его пролонгировать на многочлены над кольцом... Впрочем, IMHO, пролонгировать не следует :)

[caxap]

neo66 в сообщении #413873 писал(а):

Какое определение Вы прочитали?

Винберг Э. Б. в ''Курсе алгебры'' писал(а):

Необратимый ненулевой элемент $p$ целостного кольца называется простым, если он не может быть представлен в виде $p=ab$, где $a$ и $b$ -- необратимые элементы.
...
Простые элементы кольца $K[x]$, где $K$ -- поле, по традиции называются неприводимыми многочленами.

Кострикин А. И. во ''Введении в алгебу'' писал(а):

Элемент $p\in K$ [$K$ -- целостное кольцо] называется простым (или неразложимым), если $p$ необратим и его нельзя представить в виде $p=ab$, где $a$ и $b$ -- необратимые элементы.
...
Простой элемент кольца $A[x]$ [$A$ -- кольцо? Кострикин использует $A$ то для кольца, ито для целолстного кольца, то для ещё чего-то. А в данном месте он даже не поясняет...] называется чаще неприводимым многочленом.

[dmitryf]

VAL в сообщении #413918 писал(а):

Ненулевой, необратимый элемент p из R называется неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых элементов.

Кострикин пишет, что такой элемент называется простым.

VAL в сообщении #413918 писал(а):

Ненулевой необратимый элемент p из R называется простым, если $\forall a,b\in R$ из условия $p|ab$ следует $p|a \vee p|b$.

Скажем p=4, a=8, b=5?

[VAL]

dmitryf в сообщении #414008 писал(а):

VAL в сообщении #413918 писал(а):

Ненулевой, необратимый элемент p из R называется неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых элементов.

Кострикин пишет, что такой элемент называется простым.

Поэтому я и начал свой пост со слов "Я привык к таким определениям".
К сожалению, однозначности в этом (и не только в этом) вопросе нет

Цитата:

VAL в сообщении #413918 писал(а):

Ненулевой необратимый элемент p из R называется простым, если $\forall a,b\in R$ из условия $p|ab$ следует $p|a \vee p|b$.

Скажем p=4, a=8, b=5?

Вы знаете, что такое квантор всеобщности?

[dmitryf]

VAL в сообщении #414016 писал(а):

dmitryf в сообщении #414008 писал(а):

VAL в сообщении #413918 писал(а):

Ненулевой необратимый элемент p из R называется простым, если $\forall a,b\in R$ из условия $p|ab$ следует $p|a \vee p|b$.

Скажем p=4, a=8, b=5?

Вы знаете, что такое квантор всеобщности?

Думал, что знаю. Для любых a,b это условия должно выполняться, я взял любые, где ошибся?

[caxap]

dmitryf в сообщении #414023 писал(а):

Для любых a,b это условия должно выполняться, я взял любые, где ошибся?

$4$ не простое.

[dmitryf]

caxap в сообщении #414031 писал(а):

dmitryf в сообщении #414023 писал(а):

Для любых a,b это условия должно выполняться, я взял любые, где ошибся?

$4$ не простое.

Это должно получится, что p простое, я специально написал "контрпример", очевидно, правда где-то ошибся.

[venco]

dmitryf в сообщении #414023 писал(а):

VAL в сообщении #414016 писал(а):

Вы знаете, что такое квантор всеобщности?

Думал, что знаю. Для любых a,b это условия должно выполняться, я взял любые, где ошибся?

А для $a=2, b=6$ не выполняется...