Окружность, вписанная в треугольник

[Sasha2]

Вот есть такая задача:
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $\triangle ABC$ взяты соответственно точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$, причем $AC_1 = AB_1$, $BA_1 = BC_1$ и $CA_1 = CB_1$. Докажите, что $A_1$, $B_1$ и $C_1$ точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Я, конечно, люблю геометрию, но вот, начав изучать курс алгебры, хотелось бы спросить, можно ли не разводить геометрическую бадягу, а дать такое решение данной задачи:

Это непосредственно следует из того, что СЛАУ, имеющая своей матрицей матрицу $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right)\]$ является совместной и определенной.

[Sasha2]

Забавно еще и то, что этот же метод Гаусса также дает, что любой выпуклый четырехугольник может иметь не более одной вписанной (внутрь него) окружности, так как СЛАУ, имеющая своей матрицей матрицу $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right)\]$ также является совместной и определенной.
Вписать окружность внутрь такого четырехугольника можно, когда все компоненты этого единственного решения положительны.
Но о положительности компонентов решения, к сожалению, метод Гаусса умалчивает. Во всяком случае непонятно, как, пользуясь методом Гаусса определить, будут ли все компоненты данного решения положительны.

Также непонятно вот с ходу, какой "физический" смысл имеют решения, у которых есть отрицательные или нулевые компоненты.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #413911 писал(а):

также является совместной и определенной.

А посчитайте-ка определитель. И призадумайтесь над результатом.

[Sasha2]

Опа действительно, тут я немного (решил, что также как и с треугольниками) поторопился. А определитель то равен нулю.
Но пока никаких мыслей это мне не навивает. Наоборот, все запуталось.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #413925 писал(а):

Но пока никаких мыслей это мне не навивает.

А чему равен ранг этой матрицы?...

[Sasha2]

А вот до этого я еще не дошел, что такое ранг матрицы.
Но пока видно, что в системе из 4 уравнений после обработки ее Гауссом остается только три.
А последнее уравнение вида $0=b_t$ имеет на самом деле вид $b_t=(b+d)-(a+c)$, где $a, c$ и $b, d$ - это противоположные стороны чтырехугольника. Следовательно, пока имеем (от Гаусса), чтобы в выпуклый четрыехугольник можно было вписать окружность, сумма его двух противоположных сторон должна быть равна сумме двух его других сторон, или, что тоже самое, сумма двух его противоположных сторон должна быть равна его полупериметру.

Но в общем случае получаем все равно непределенную систему, из которой пока непонятно, как определять длины отрезков, на которые вписанная окружность делит стороны этого четырехугольника.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #413930 писал(а):

А вот до этого я еще не дошел, что такое ранг матрицы.Но пока видно, что в системе из 4 уравнений после обработки ее Гауссом остается только три.

Это ровно и означает, что ранг матрицы равен трём. Поэтому условие разрешимости системы -- это ортогональность столбца правых частей единственному (с точностью до множителя) решению однородной сопряжённой системы, которую Вы благополучно и вывели.

Sasha2 в сообщении #413930 писал(а):

Следовательно, пока имеем (от Гаусса), чтобы в выпуклый четрыехугольник можно было вписать окружность, сумма его двух противоположных сторон должна быть равна сумме двух его других сторон

А до Гаусса Вы этого требования не знали?

Sasha2 в сообщении #413930 писал(а):

Но в общем случае получаем все равно непределенную систему, из которой пока непонятно, как определять длины отрезков

Никак. Это значит, что для четырёхугольника, в отличие от треугольника, равенства выполняются не только для точек касания.

(Оффтоп)

Sasha2 в сообщении #413925 писал(а):

Но пока никаких мыслей это мне не навивает.

тут, кстати, грамматическая ошибка: навивает не "мне", а "на меня"

[Sasha2]

Вот то, что до Гаусса я, конечно, знал, как соотносятся между собой стороны четырехуголников (выпуклых и нет), в которые модно вписать или вневписать окружности.
Но вот это Ваше "Никак. Это значит, что для четырёхугольника, в отличие от треугольника, равенства выполняются не только для точек касания." - это для меня открытие. Во-первых, спасибо, а во-вторых, еще один вопрос, а что тогда такие точки означают, вот снова к исходному вопросу, каков их "физический смысл"?

P.S. Просто нетерпится получать прежние результаты более быстрыми и простыми способами по мере освоения нового аппарата.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #413936 писал(а):

еще один вопрос, а что тогда такие точки означают, вот снова к исходному вопросу, каков их "физический смысл"?

Неизвестно (т.е. может и есть, но на поверхности не просматривается). Ну, можно, например, сказать, что это обязательно точки пересечения (не все) четырёхугольника с некоторой окружностью, центр которой совпадает с центром вписанной, но вряд ли это интересно. Но у меня встречный вопрос: а почему, собственно, у любого формального решения должен быть "физический смысл"?...

[Sasha2]

Вы знаете, меня на этот вопрос натолкнул тот факт, что вот у треугольника такой второй тройки точек нет.
Поэтому, я, конечно, связал это с тем общеизвестным фактом, что у трегольника может быть только одна вписанная в него окружность. А вот как интерпретировать это в случае четырехугольника непонятно.

И еще удивляет то, что на четырехугольнике, в который можно вписать окуржность таких четверок, наверно, бесконечно много, а на четырехугольнике,, в который нельзя вписать окружность, таких четверок вообще нет. Причем чисто с геометрической точки зрения. Алгебраически понятно, почему так.