Единичка как сумма квадратов

[Xenia1996]

(Оффтоп)

Сегодня целый день провела в больнице, поэтому задача будет лёгкая

Представьте

а) единичку
б) любое положительное рациональное число

в виде суммы квадратов n попарно различных положительных рациональных чисел для каждого натурального n.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #413779 писал(а):

(Оффтоп)

Сегодня целый день провела в больнице, поэтому задача будет лёгкая

Представьте

а) единичку
б) любое положительное рациональное число

в виде суммы квадратов n попарно различных положительных рациональных чисел для каждого натурального n.

Кажется, уравнения $x^2+y^2=3$ и $x^2+y^2+z^2=7$ неразрешимы в рациональных числах. Видимо, предполагается $n \geqslant 4$. Но тогда теорема Лагранжа.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #413803 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #413779 писал(а):

(Оффтоп)

Сегодня целый день провела в больнице, поэтому задача будет лёгкая

Представьте

а) единичку
б) любое положительное рациональное число

в виде суммы квадратов n попарно различных положительных рациональных чисел для каждого натурального n.

Кажется, уравнения $x^2+y^2=3$ и $x^2+y^2+z^2=7$ неразрешимы в рациональных числах. Видимо, предполагается $n \geqslant 4$. Но тогда теорема Лагранжа.

Так, стоп-машина!
Задача для девятого класса. Какой Лагранж?
==============
Ой, пардон!
В пункте б) следует читать "любой квадрат положительного рационального числа".

(Оффтоп)

Видимо, от наркоза ещё не отошла

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #413804 писал(а):

Так, стоп-машина!
Задача для девятого класса. Какой Лагранж?

Я прежде всего имел в виду пункт б) и условие "для любого натурального $n$". Для $n=2$ не получится представить число 3, а для $n=3$ нельзя в таком виде представить число 7.

-- Чт фев 17, 2011 00:54:44 --

Xenia1996 в сообщении #413804 писал(а):

Ой, пардон!
В пункте б) следует читать "любой квадрат положительного рационального числа".

(Оффтоп)

Видимо, от наркоза ещё не отошла

Ну, это гораздо лучше! Тогда, кстати, пункты а) и б) неразличимы. Полагаю, можно рассуждать по индукции. Действительно, задача для 9-го класса.

[Ales]

Добавлю.
Можно построить нетривиальный ортонормированный $n$-мерный базис с рациональными компонентами - рациональную матрицу вращения.
Для этого берется матрица $A$ из рациональных чисел такая, что она коммутирует с транспонированной матрицей: $AA^*=A^*A$.
Тогда $A^{-1}A^*$ - ортогональная матрица из рациональных чисел.
$A^{-1}A^* \cdot (A^{-1}A^*)^*= A^{-1}A^*A(A^{-1})^*=A^*(A^{-1})^*=(A^{-1}A)^*=1$