Объект, дифференциал которого вектор -- что это?

[В.О.]

CowboyHugges в сообщении #413757 писал(а):

Только для однородной жидкости () ваше утверждение верно

Разумеется. Несжимаемость уже подразумевалась. Не надо никуда смотреть.
Сейчас речь о физическом смысле дивергенции. Как Вы полагаете, из зануленности дивергенции скорости должна следовать зануленность дивергенции ускорения?

-- Ср фев 16, 2011 21:12:50 --

А про источники и стоки можно посмотреть здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%B8%D1%8F

-- Ср фев 16, 2011 21:33:23 --

Собственно, это вопрос к автору. Встречаются ли "истинные" векторы в природе? Нужно привести пример течения жидкости, в котором вектор скорости является "истинным". Если такой пример есть, то вся эта тема имеет смысл. А если нет, то увы...
Кстати, дивергенции высших производных у "истинного" вектора с нулевой дивергенцией тоже будут зануляться. Это по индукции, если не ошибаюсь.

[CowboyHugges]

В.О. в сообщении #413789 писал(а):

Сейчас речь о физическом смысле дивергенции.

Дивергенция - дифференциальный оператор, у него может быть вагон и маленькая тележка всяких физических смыслов. В системе Навье-Стокса - дивергенция = относительное изменение элементарного объема. Ни о каких источниках речи не идет. При наличии источника меняются все балансные отношения, система будет уже другая. А Александр Козачок рассматривает именно что Н.-С. и пытается что-то с ним сделать (известно что - по каким-то мутным соображениям выкинуть конвективный член).

В.О. в сообщении #413789 писал(а):

Как Вы полагаете, из зануленности дивергенции скорости должна следовать зануленность дивергенции ускорения?

Нет конечно - в первоначальной теме Александру Козачку были даны контрпримеры полей, у которых дивергенция скоростей равна нулю, а дивергенция ускорений нет. После этого он хочет все такие поля обозвать "неправильными", а "правильными" - только те которые его устраивают.

[В.О.]

CowboyHugges в сообщении #413798 писал(а):

были даны контрпримеры полей, у которых дивергенция скоростей равна нулю, а дивергенция ускорений нет.

Т.е. не все поля являются "истинными". Но даже если найдется хотя бы одно "истинное" поле скоростей у реального течения жидкости, то это уже будет темой для разговора. Т.е. нужен несколько другой пример.

-- Ср фев 16, 2011 21:49:58 --

И еще. Не каждое векторное поле является полем скоростей реального течения. Как минимум, оно должно удовлетворять уравнению неразрывности. (?)

[CowboyHugges]

В.О. в сообщении #413806 писал(а):

Но даже если найдется хотя бы одно "истинное" поле скоростей у реального течения жидкости, то это уже будет темой для разговора. Т.е. нужен несколько другой пример.

Чего его искать-то? Берите любое простейшее плоско-параллельное течение, Куэтта или Пуайзеля, вот вам и "истинное" течение, с нулевой дивергенцией ускорений. Ну и что тут обсуждать?

В.О. в сообщении #413806 писал(а):

Не каждое векторное поле является полем скоростей реального течения. Как минимум, оно должно удовлетворять уравнению неразрывности.

Оно много чему должно удовлетворять, вопрос в другом. Берем векторное поле $v(x_1,x_2,x_3)$, и вот Александр Козачок говорит, что чтобы такое поле могло быть в какой-то определенный момент вектором скоростей течения жидкости, оно должно удовлетворять каким-то там соотношениям. Но Лере ещё лет 80 назад доказал существования слабого решения для любого начального поля скоростей, без каких-то сказочных условий. А для малых начальных данных, но опять безо всяких условий на ускорения, доказано и существование сильных решений. А Серегин, совсем уже недавно, доказал ещё и регулярность решений для локальной задачи.

Как-то с трудом верится, что при переходе от локальной к глобальной задаче, вдруг откуда-то выскочат какие-то условия на ускорения.

[shwedka]

Условие, которое поставил Александр Козачок, геометрически означает, что градиенты всех составляющих скорости параллельны друг другу.
Других векторных полей он не признает. Они не истинные.
В течение многих лет он пытался доказать, что ЛЮБЫЕ векторные поля именно такие. С ошибками на разном уровне. Иногда банальное жульничество, иногда замаскированные концептуальные подмены. При этом не стеснялся повторять уже разоблаченную ложь.

Теперь поменял стратегию, запрещая все неистинные векторные поля.

В общем, был бы безобидным пенсионером, если бы не ходы в украинские образовательные круги, которые без особого разбора рекомендовали его сочинения к использованию в преподавании.

[Munin]

CowboyHugges в сообщении #414028 писал(а):

Как-то с трудом верится, что при переходе от локальной к глобальной задаче, вдруг откуда-то выскочат какие-то условия на ускорения.

Наверное, могут выскочить условия на топологию.

[В.О.]

shwedka в сообщении #414047 писал(а):

Условие, которое поставил Александр Козачок, геометрически означает, что градиенты всех составляющих скорости параллельны друг другу.

Не совсем так. Для параллельности градиентов нужны еще три аналогичных равенства.
$\frac{\partial{V_x}}{\partial y}\frac{\partial{V_y}}{\partial z} = \frac{\partial{V_x}}{\partial z}\frac{\partial{V_y}}{\partial y}$
...
где $V_x, V_y, V_z$ - компоненты вектора скорости.
Возникает впечатление, что условиям Александра Козачка удовлетворяют не только тривиальные векторные поля, вроде параллельного течения. Но, по прежнему, нужен или пример или доказательство, что это не так.

-- Чт фев 17, 2011 23:50:44 --

CowboyHugges в сообщении #414028 писал(а):

Александр Козачок говорит, что чтобы такое поле могло быть в какой-то определенный момент вектором скоростей течения жидкости, оно должно удовлетворять каким-то там соотношениям.

По-моему, Александр Козачек в этой теме этого не говорил. Насколько я понял, его интересуют только "истинные" в его смысле векторные поля. А вот как они соотносятся с реальными течениями это вопрос.

[В.О.]

CowboyHugges в сообщении #414028 писал(а):

Лере ещё лет 80 назад доказал существования слабого решения для любого начального поля скоростей, без каких-то сказочных условий. А для малых начальных данных, но опять безо всяких условий на ускорения, доказано и существование сильных решений.

Интересно. А ссылку кукую-нибудь можно?
Если существуют реальные течения при любых начальных условиях, то условия Козачка становятся очень частным случаем. Если, они вообще, нетривиальны. Словом, вопрос остается открытым.
Но если автор не приведет пример течения удовлетворяющего своим условиям, то с ним говорить будет не о чем

[CowboyHugges]

В.О. в сообщении #414451 писал(а):

Интересно. А ссылку кукую-нибудь можно?

Посмотрите монографии Темама "Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ" или Ладыженской "Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости". Это классические результаты. Только термин "реальные течения" - это не из математики, это к физикам. Я говорил про обобщенные решения УНС.

В.О. в сообщении #414451 писал(а):

Но если автор не приведет пример течения удовлетворяющего своим условиям, то с ним говорить будет не о чем

Так я же вам их привел. Чем вас Пуайзель не устраивает? Разве тривиальные решения перестали быть решениями? Кстати очень физическое решение - реальней некуда.

[В.О.]

Я вот не поленился привести сетевую ссылку про дивергенцию. На да бог с ним.
И еще. Вы никогда не встречали примерно такую фразу " ...что-то там не существует за ислючением тривиального случая"? Хочу Вас успокоить, тривиальные решения не перестали быть таковыми.

[CowboyHugges]

В.О. в сообщении #414496 писал(а):

Я вот не поленился привести сетевую ссылку про дивергенцию. На да бог с ним.

Ну если вам лень самому искать, чтож так уж и быть :)
Вот обзорная статья Ладыженской 2003 года, по проблеме Навье-СТокса:http://www.mathnet.ru/links/09d14dacf292f067980f627058582a1b/rm610.pdf
Вот здесь есть хороший доклад Тити на летней школе 2010 года:http://php.math.unifi.it/users/cime/(там нету прямой ссылки, зайдите в курсы 2010 года, в раздел посвященный гидродинамике)
А вот оригинальная статья Ж.Лере 1934 года (на французском,прям оригинал-оригинал )
http://www.warwick.ac.uk/~masdh/Leray.pdf

В.О. в сообщении #414496 писал(а):

Вы никогда не встречали примерно такую фразу " ...что-то там не существует за ислючением тривиального случая"?

Встречал - везде где встречал под тривиальным подразумевается в точности нулевое решение (это устоявшийся термин "тривиальное решение" = нулевое решение). Но я же не привел вам в пример нулевое решение (хотя оно тоже "идеальное"). А вот фразу "ваш пример не подходит он слишком простой" -я, признаюсь, слышал только от ферматиков на этом сайте :)

[В.О.]

Спасибо за ссылки. Правда, в статье Ладыженской открывается, почему-то, только первая страница.
Чтобы не спорить какое решение тривиально я попробую привести нетривиальное решение уравнений Козачка. Это три равенства между произведениями частных производных компонент вектора скорости, см. выше.
$V_x = F(x,z)$,
$V_y = G(x)$,
$V_z = H(y)$.
$F(x,z), G(x), H(y)$ - произвольные дифференцируемые функции. Они выбраны так, чтобы в каждом из шести произведений в уравнениях Козачка хотя бы один сомножитель был равен нулю.

[shwedka]

В.О. в сообщении #414601 писал(а):

Спасибо за ссылки. Правда, в статье Ладыженской открывается, почему-то, только первая страница.
Чтобы не спорить какое решение тривиально я попробую привести нетривиальное решение уравнений Козачка. Это три равенства между произведениями частных производных компонент вектора скорости, см. выше.
$V_x = F(x,z)$,
$V_y = G(x)$,
$V_z = H(y)$.
$F(x,z), G(x), H(y)$ - произвольные дифференцируемые функции. Они выбраны так, чтобы в каждом из шести произведений в уравнениях Козачка хотя бы один сомножитель был равен нулю.

Не годится. Дивергенция не нуль.

[В.О.]

А зачем дивергенцию занулять? Вроде и не надо.

[shwedka]

В.О. в сообщении #414727 писал(а):

А зачем дивергенцию занулять? Вроде и не надо.

Надо, надо!!! То есть Козачку надо.