Неавтономная система ОДУ

[Nimza]

Есть линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с зависящими от времени непрерывными коэффициентами
$\dot{x} = A(t)x(t)$
и какое-нибудь начальное условие. Для простоты $x \in \mathbb{R}^{2}$

Меня интересует вопрос о том, при каких условиях на A(t) нетривиальное решение системы будет ортогонально заданной прямой на целом интервале.
Интересует также такой вопрос: при каких предположениях решение будет аналитической функцией.

Буду рад, если подскажите, где можно обо всём этом почитать. Все книжки, которые я нашёл (может быть, плохо искал) очень скупо рассказывают про неавтономные линейные системы.

[Ales]

Nimza в сообщении #413450 писал(а):

Интересует также такой вопрос: при каких предположениях решение будет аналитической функцией.

Если $A(t)$ аналитическая, то решение будет аналитическим.

Nimza в сообщении #413450 писал(а):

при каких условиях на A(t) нетривиальное решение системы будет ортогонально заданной прямой на целом интервале

Уточните вопрос. Непонятно, что Вы спрашиваете.

[Yu_K]

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3058/%D0%9C%D0%90%D0%A2%D0%AC%D0%81 как пример можете посмотреть МАТЬЁ УРАВНЕНИЕ, понятно, что оно сводится к системе первого порядка подобной Вашей.

[Ales]

Nimza в сообщении #413450 писал(а):

Все книжки, которые я нашёл (может быть, плохо искал) очень скупо рассказывают про неавтономные линейные системы.

Наверное, потому, что про них ничего нельзя сказать определенно, это слишком разнообразное семейство.
И кажется, никаких общих методов пока не придумали.

[V.V.]

Неавтономным системам посвящено множество публикаций, разбросанным по журналам.

Еще и книги. Например,
И.В. Гайшун "Введение в теорию линейных нестационарных систем".

P.S. А что Вы, Nimza, спрашиваете, действительно непонятно. Попытайтесь переформулировать вопрос. Возможно, кто-то из форумчан Вам ответит.

[Nimza]

Спасибо за ответы.

Переформулировка вопроса: при каких условиях на матрицу A(t) найдётся прямая $\langle x, n \rangle = c$ и начальное условие $x_{0}$ такие, что решение $x(t)$ будет ортогонально этой прямой на целом интервале $(t_{0},t_{1})$.

[Ales]

Nimza в сообщении #413751 писал(а):

Переформулировка вопроса: при каких условиях на матрицу A(t) найдётся прямая $\langle x, n \rangle = c$ и начальное условие $x_{0}$ такие, что решение $x(t)$ будет ортогонально этой прямой на целом интервале $(t_{0},t_{1})$.

Не понятно что Вы имеете в виду: "решение $x(t)$ будет ортогонально этой прямой".
Может быть, $\vec x(t)=\lambda (t) \vec n$?

[Nimza]

Что-то я в самом деле запутал всё
Да, именно так

[Ales]

на плоскости:
$\dot \lambda (t) \vec n =A(t)\lambda (t) \vec n$
значит $\vec n$ - собственный вектор для $A(t)$,
значит $A(t)$ удовлетворяет линейному уравнению $(A(t)\vec n,\vec n^{\perp})=0$,
где $(\cdot,\cdot)$ - скалярное произведение и $(\vec n,\vec n^{\perp})=0$

[Nimza]

Ales,
спасибо. Остался только один смутный момент:

Цитата:

Если $A(t)$ аналитическая, то решение будет аналитическим.

С существованием производных всё понятно (от противного). А что делать с условиями Коши-Римана?


V.V.,
вот эту книжку я не нашёл ни у нас в библиотеке, ни в бесплатных библиотеках в интернете, а покупать ради нескольких сведений не хочется:

Цитата:

И.В. Гайшун "Введение в теорию линейных нестационарных систем".

Может быть есть более доступная литература? И что-нибудь по аналитической теории дифф. уравнений, затрагивающее линейные системы.

[Ales]

Nimza в сообщении #413996 писал(а):

С существованием производных всё понятно (от противного). А что делать с условиями Коши-Римана?

Неправильно ставите вопрос. Условия Коши-Римана тут вообще не к чему.
Аналитичность - функция может быть разложена в сходящийся степенной ряд.
Если матрица разлагается в степенной ряд по времени, то и решение будет разлагаться в степенной ряд по времени.

Любой степенной ряд, если его рассматривать как отображение плоскости (комплексной) на другую плоскость (комплексную), удовлетворяет условиям Коши-Римана.

[Padawan]

Nimza в сообщении #413996 писал(а):

И что-нибудь по аналитической теории дифф. уравнений, затрагивающее линейные системы.

В.В. Голубев "Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений". Там, в частности, доказано, что особыми точками решения будут только особые точки матрицы $A(t)$.