Неравенство Коши-Буняковского, углы между векторами в R^n

[M214]

Однажды, еще в школьные годы, участвуя в олимпиаде, для доказательства неравенства Коши-Буняковского (о котором я тогда не знал по безалаберности) я использовал некий прием, который здесь продемонстрирую. Беспристрастный эксперт, проверявший мою работу поставил "+" за оригинальность и "-" за незнание азов с комментарием "неправомерный ход".
До сих пор не могу понять, действительно ли ход был неправомерным. Помогите разобраться.
Итак, неравенство Коши-Буняковского имеет вид:

\[(x_1 + x_2 + \ldots + x_n )^2 \le n\left( {x_1 ^2 + x_2 ^2 + \ldots + x_n ^2 } \right)\]

.
Я ввел два n-мерных вектора

\[ e = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \end{array}} \right) \]

и

\[ x = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } & {x_2 } & \ldots & {x_n } \\ \end{array}} \right) \]

. После чего преобразовал исходное неравенство к виду

\[ \left( {e \cdot x} \right)^2 \le nx^2 \]

. Выражение в левой части заменяется на

\[ \left| e \right|^2 \cdot \left| x \right|^2 \cdot \cos ^2 \left( \phi \right) \]

. Так как

\[ \left| e \right|^2 = n \]

, то после сокращения левой и правой частей получается неравенство

\[ \cos ^2 \left( \phi \right) \le 1 \]

, о котором я тогда написал что оно верно.
Мне и сейчас кажется это доказательство странным, но понять, что с ним не так - не могу. Возможно мне не нравится, что в док-ве использованы некоторые факты из линейной алгебры.

[RIP]

А что такое угол между векторами в n-мерном пространстве? Обычно через Коши-Буняковского он и вводится.

[Brukvalub]

То, что Вы называете неравенством Коши-Буняковского, является одним из его очень частных случаев. Про "настоящее" неравенство Коши-Буняковского можно прчитать здесь: http://ruwiki.com/article/%D0%9D%D0%B5% ... 0%B3%D0%BE

[maxal]

Нормальное доказательство. Кстати, оно же по сути упоминается в выражениях (2), (7), (8) на http://mathworld.wolfram.com/CauchysInequality.html
Из него же "бесплатно" получаем тот факт, что равенство достигается только, если все $x_i$ равны между собой.

Добавлено спустя 3 минуты 40 секунд:

RIP писал(а):

А что такое угол между векторами в n-мерном пространстве? Обычно через Коши-Буняковского он и вводится.

Два неколлинеарных вектора в n-мерной простанстве задают плоскость, через них проходящую. Угол между векторами определяется как угол между ними в этой плоскости. И Коши-Буняковский тут не при чем.

[RIP]

maxal писал(а):

Два неколлинеарных вектора в n-мерной простанстве задают плоскость, через них проходящую. Угол между векторами определяется как угол между ними в этой плоскости. И Коши-Буняковский тут не при чем.

Тогда формулу $x\cdot y=|x||y|\cos\phi$ надо доказывать.

[Genrih]

RIP писал(а):

Тогда формулу $x\cdot y=|x||y|\cos\phi$ надо доказывать.

Опять же, причем здесь Коши-Буняковский, и мне не понятно ...

[RIP]

Кроме того, я как-то слабо представляю, как находить угол между векторами в плоскости, лежащей в n-мерном пространстве.

[maxal]

RIP писал(а):

Кроме того, я как-то слабо представляю, как находить угол между векторами в плоскости, лежащей в n-мерном пространстве.

Плоскость - она и в африке плоскость, и если мы фокусируемся на объектах лежащих в этой плоскости, то абсолютно неважно, где лежит сама плоскость.

[RIP]

В произвольном евклидовом пространстве угол между "векторами" определяется по формуле $\varphi=\arccos\frac{(x,y)}{|x||y|}$. Коши-Буняковский используется для того, чтобы определение было корректно.

[M214]

RIP писал(а):

Кроме того, я как-то слабо представляю, как находить угол между векторами в плоскости, лежащей в n-мерном пространстве.

Как и в любой другой двухмерной плоскости, кажется.

[RIP]

Найдите мне угол между векторами (1,2,3,4) и (4,3,2,1), если не трудно.

[Genrih]

RIP писал(а):

Найдите мне угол между векторами (1,2,3,4) и (4,3,2,1), если не трудно.

$\arccos \frac 2 3$

[RIP]

А как Вы его нашли?

[maxal]

RIP писал(а):

В произвольном евклидовом пространстве угол между "векторами" определяется по формуле $\varphi=\arccos\frac{(x,y)}{|x||y|}$. Коши-Буняковский используется для того, чтобы определение было корректно.

Если определять вот так формально, то непонятно с какой стати $\varphi$ называется "углом". А это действительно обычный геометрический угол, если следовать определению, котороя я привел выше.

[M214]

Любую плоскость в n-мерном пространстве можно отобразить с сохранением скалярного произведения на плоскость (x,y) и "увидеть" на ней все интересующие углы.