Область интегрирования и изменить порядок интегрирования

[Ferd]

Здравствуйте!

Требуется в задании построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

Помогите, пожалуйста, построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования?

Вот условие: \int\limits_{0}^{4}dy\int\limits_{1+\tfrac{y}{2}}^{7-y}f(x,y)\,dx

Строим проекцию области интегрирования на плоскость xOy

1+\dfrac{y}{2} \leqslant x \leqslant 7-y,~0 \leqslant y \leqslant 4.

Помогите расписать интеграл как повторный?

Ограничен линиями:

${y}={0}$, ${y}={4}$

Как ${x}$ и ${y}$ переставить местами?



Заранее спасибо!

[Dan B-Yallay]

Ну я например наблюдаю, что $y$ меняется от $0$ до $2(x-1)$ когда $x$ пробегает от 1 до 3, и соответственно для промежутка $3 \leqslant x \leqslant 7$ $y$меняется от $0$ до...

[gris]

Вот такой бесхитростный приём для визуализации. У Вас область зашрихована по диагонали. А Вы заштрихуйте её по горизонтали, если вначале (внутри) идёт интегрирование по $x$ и по вертикали, если по $y$. Начала и концы отрезочков будут лежать на каких-то кривых или прямых, уравнения которых в виде выражения одной из переменных и даст пределы интегрирования для внутреннего интеграла. Иногда, как и в Вашем случае, повторный интеграл придётся разбить на два повторных на соседних интервалах интегрирования по переменной внешнего интегрирования.

[Ferd]

gris

Заштрихвал по горизонтали.

[Tlalok]

Надо было штриховать по вертикали.

[Ferd]

Tlalok

Почему?Так лучше?

[Tlalok]

Tlalok в сообщении #413688 писал(а):

Надо было штриховать по вертикали.

Нет, это моя ошибка.

[Алексей К.]

Ваша горизонтальная штриховка соответствует тому порядку интегрирования, который был задан:

Ferd в сообщении #413482 писал(а):

Вот условие: \int\limits_{0}^{4}dy\int\limits_{1+\tfrac{y}{2}}^{7-y}f(x,y)\,dx

Для каждого значения $y$ имеем горизонтальную линию, которая тянется от $x_1=1+\frac y2$ до $x_2=7-y$. Так, самая нижняя, которая при $y=0$, тянется от 1 до 7. А потом мы второе интегрирование уже поперёк всех этих линий проводим, по $dy$ интегрируем.

Вам надо поменять порядок интегрирования. Чтобы проще было это сделать, следует поменять направление штриховки, лазить сначала по вертикальным линиям от нижнего игрека до верхнего. (Нам этот рисунок предъявлять необязательно).

-- 16 фев 2011, 17:08 --

Да, делать придётся отдельно для левого треугольничка и отдельно для правого.

[Ferd]

Алексей К.

${\sigma}={\sigma_1}+{\sigma_2}$

[Tlalok]

Верно. У Вас будет сумма 2-х двойных интегралов.

[Ferd]

Алексей К.

Этот интеграл ограничен линиями:

${y}={0}$;${y}={4}$;

${x}=\frac{y}{2}+1$;${x}={7}-{y}$

${x}$ и ${y}$ переставим местами, получим:

${y}={2x}-{2}$; ${y}={7}-{x}$

Не понимаю только почему интеграл распадается на сумму двух интегралов?

Спасибо!

-- 17 фев 2011, 00:29 --

Tlalok

Понимаю что сумма двух интегралов, но не понимаю почему?

[Tlalok]

Это связано с понятием правильности области в направлении какой-либо оси.

[Ferd]

Tlalok

Что это такое?Объясните пожалуйста?

[Tlalok]

Область называется правильной в направлении какой-то оси ($Ox$ или $Oy$), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку этой области параллельной этой оси, имеет с границей 2 общие точки.

Для того чтобы можно было привести двойной интеграл к двукратному, область интегрирования должна быть правильной.


Это теоретическое отступление.

[Ferd]

Tlalok

Всё, что я пока понял, что область правильная в данном случае.Я прав?

Tlalok в сообщении #413866 писал(а):

Область называется правильной в направлении какой-то оси ($Ox$ или $Oy$), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку этой области параллельной этой оси, имеет с границей 2 общие точки.

Этого я, к сожалению, пока не понял.