Функуравнение

[myra_panama]

Найти все непрерывные функции $f : (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ которое удовлетворяет следующему уравнению:
$f(x)f(y)=f(xy)+f(\frac{x}{y})$
задача из книга "functional equation "

[worm2]

Было

[Руст]

$y=1\to f(1)=2,$
$y=x\to f(x^2)=f(x)^2-2,$
Oтсюда получаем, что $f(x)\ge 2$ всегда, поэтому можно ввсести однозначную функцию $g(x)\ge 1$, такую, что $f(x)=g(x)+\frac{1}{g(x)}$. Тогда уравнение запишется в виде
$g(x^2)=(g(x))^2$ и общее уравнение упростится если ввести $\phi (z)=\ln(g(e^z)$ и приведется к линейному. В классе непрерывных даст только линейные, что эквивалентно $f(x)=x^a+x^{-a}.$

[myra_panama]

worm2 в сообщении #413332 писал(а):

Было

да правильно.. извиняюсь..

-- Вт фев 15, 2011 19:14:04 --

а было ли это задача:
Найти все функции $f:N*N \to R$ который,
$f(x,x)=x, $$ f(x,y)=f(y,x),$ $ (x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)$

[worm2]

Вроде, не было.
Но похоже на то, что функция восстанавливается однозначно.
А поскольку наименьшее общее кратное подходит, то...