тело в поле силы тяжести

[terminator-II]

Материальная точка брошена в однородном поле силы тяжести в атмосфере. Сила сопротивления атмосферы по модулю пропорциональна (с постоянным коэффициентом) квадрату скорости точки и направлена противоположено скорости. Доказать, что скорость точки стремится при $t\to\infty$ к константе, а траектория к вертикальной асимптоте.

[gris]

Интересно, справедливы ли такие наивно-механические соображения.
Траектория будет стремиться к вертикальной, так как сила тяжести не влияет на горизонтальную составляющую ускорения, а сила сопротивления создаёт эту отрицательную горизонтальную составляющую, если скорость тела имеет её. Причём эта составляющая будет стремиться к нулю монотонно. Вот тут интересно, если сила сопротивления будет пропорционально другой (положительной) степени скорости, возможно ли немонотонное приближение горизонтальной составляющей к нулю?
Кинетическая энергия тела стремится в постоянной величине. Это следует из того, что работа вертикальной составляющей силы сопротивления равна работе силы тяжести с обратным знаком.
Нет?

[terminator-II]

gris в сообщении #350955 писал(а):

Интересно, справедливы ли такие наивно-механические соображения.

Вопрос для кого они будут справедливыми. Для физика наверное будут. Он сначала проведет эксперимент, а потом станет подгонять объяснения под результат этого эксперимента.
Я считаю, что раз модель зафиксирована (второй закон Ньютона), то надо выписывать дифференциальные уравнения движения и доказывать, что их решения обладают нужными свойствами. Уравнения эти явно не интегрируются, поэтому задача олимпиадная.

Делюсь опытом. Как ловить физиков на физической очевидности. Вопрос: объясните с физической точки зрения почему устойчиво верхнее положения равновесия маятника Капицы с одной степенью свободы.

Физик: ***** Пространные объяснения *****

Еще вопрос: известно, что верхнее положение сферического маятника Капицы не устойчиво. Где в ваших рассуждениях про маятник с одной степенью свободы был использован факт одномерности конфигурационного пространства?

Дальше два варианта ответа:

Физик (тихий): **********Мычание**********

Физик (буйный): ********** **********, швырятся первым томом Ландафшица

[Андрей123]

Из уравнений движения легко получается, что квадрат горизотальной составляющей скорости является убывающей функцикей. К тому же она ограничена снизу, поэтому имеет предел. От противного доказывается, что он нулевой. Далее из линеаризации системы получается, что решение $\dot x=0,\dot y=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ является устойчивым. Поэтому выберем достаточно большой момент времени, когда компонента горизонтальной сост. скорости достаточно мала. Если в этот момент $\dot y=\sqrt{\frac{mg}{k}}$, то утверждение следует из устойчивости. Допустим $\dot y<\sqrt{\frac{mg}{k}}$. Тогда из уравнений движения $\dot y$ возрастает. Поэтому либо наступит момент, когда она будет достаточно близко к $\sqrt{\frac{mg}{k}}$, и тогда опять утверждение следует из устойчивости, либо скорость стремится к некоторой константе. От противного можно доказать, что эта константа $\sqrt{\frac{mg}{k}}$. В этом случае утверждение также следует из устойчивости.

[terminator-II]

да, похоже, что так. Ключевое наблюдение это устойчивость. Я ее доказывал с аомощью функции Ляпунова

[Утундрий]

terminator-II в сообщении #350972 писал(а):

Уравнения эти явно не интегрируются

А неявно? Перейдите к годографу скорости ($\[\dot x = V\cos \theta ,\dot y = V\sin \theta \]$), потом сделайте замену $\[z = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {V^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {V^2 }}\]$ и посмотрите что получится...

[terminator-II]

На самом деле там даже есть целый класс функций -- зависимостей коэффициента пропорциональности от модуля скорости, при которых система интегрируется в квадратурах. Одно время это была популярная тема. Я просто хотел что бы задача решалась качественно.

[Утундрий]

terminator-II в сообщении #351423 писал(а):

Я просто хотел что бы задача решалась качественно

Но в заблуждение-то зачем вводить? Внесли бы сие пожелание непосредственно в условие...

[terminator-II]

начинаю вспоминать подробности: и интегрируют эту задачу в репере Френе траектории, там совсем просто
но главное, что всеравно очень легко подобрать зависимость так что интегрирования в квадратурах не будет, а качественный анализ все равно пройдет

[Утундрий]

Ну, танки, они везде пройдут...

[dovlato]

А я вот как сделал. Решать эти диффуры, думается, и невозможно, и, главное, не очень интересно, т.к. квадратичная зависимость - это всё-таки частный случай. Представим силу трения как произведение некоторой возрастающей скалярной ф-ции квадрата скорости на саму эту скорость-вектор. Разумеется, с обратным знаком. Сначала пишем уравнение стационарного вертикального падения.
Затем находим линейное приближение силы трения (вектора) при малом отклонении скорости-вектора от стационарной величины.
У меня получилось так, что в линейном приближении уравнения для вертикальной и горизонтальной составляющей отклонения скорости распадаются и решаются независимо. Причём - и та, и другая составляющая имеют вид убывающих экспонент, хотя и с разными показателями.
То есть, прежде всего, для любой скалярной возрастающей ф-ции движение устойчиво. И второе - асимптотически экспоненциальное убывание горизонтальной скорости автоматически гарантирует существование некой вертикальной асимптоты, к которой приближается траектория падения.
Я должен извиниться перед сообществом, но, не владея Латехом, не могу представить эти результаты непосредственно, прямо здесь. Знаете, как-то эта новая техника мне пока не поддаётся..

[Munin]

terminator-II в сообщении #350949 писал(а):

Материальная точка брошена в однородном поле силы тяжести в атмосфере. Сила сопротивления атмосферы по модулю пропорциональна (с постоянным коэффициентом) квадрату скорости точки и направлена противоположено скорости. Доказать, что скорость точки стремится при $t\to\infty$ к константе, а траектория к вертикальной асимптоте.

Задача в одно действие: перейти в пространство скоростей (в котором система есть ДУ первого порядка!), и нарисовать фазовый портрет. Всё сразу следует из его качественного вида. Чего вы сложности разводите?