Непрерывная, недифференцируемая функция.

[Mopnex]

В учебнике В.А. Ильин, Э.Г. Позняк " Основы математического анализа часть 1 " строится пример неквадрируемой фигуры. По ходу построения появляются 2 параметрически заданные функции. Показывается, что они непреравны. А в конце, в примечании, говорится, что они нигде не дифференцируемы и никак это не объясняется. Я могу представить как показать их недифференцируемость в вершинах треугольников, но как быть с остальными точками - не вижу никакого подхода. Привожу сканы страниц учебника, они великоваты - по 500кб, но иначе плохо различим текст и грузятся долго, из Америки.








Помогите пожалуйста.

[Brukvalub]

Для этого нужен довольно тонкий дополнительный анализ конструкции, поэтому закономерен вопрос: Вам позарез нужна недифференцируемость именно этих функций, или Вы пытаетесь извлечь отсюда просто пример нигде не дифференцируемой функции? В последнем случае, Вы выбрали далеко не самый простой пример.

[Mopnex]

Мне нужно разобраться именно с этой конструкцией. Более простые примеры непрерывных недифференцируемых функций я знаю.

[DMVN]

Ну, вспомним, как доказывается недифференцируемость горы Вейерштрасса -- выбирается подпоследовательность точек, на которой производная улетает в бесконечность. Тут ситуация аналогична --- нужно использовать "зубчатость". Но реализация этого плана будет, видимо, сложнее.

[$]

DMVN писал(а):

Ну, вспомним, как доказывается недифференцируемость горы Вейерштрасса -- выбирается подпоследовательность точек, на которой производная улетает в бесконечность. Тут ситуация аналогична --- нужно использовать "зубчатость". Но реализация этого плана будет, видимо, сложнее.

Да, примерно так же подумал. "Улетать на бесконечность" вовсе необязательно, надо умудрится построить для каждой точки, где доказывается недифференцируемость пару подпоследовательностей сходящихся к этой точке, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f(x_n ) - f(x)}} {{x_n - x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f(t_n ) - f(x)}} {{t_n - x}},\;x_n ,t_n \xrightarrow{{n \to \infty }}x \]

Или что то в таком духе (один предел есть, по одной подпоследовательности , другого нет и т.п.) из чего бы следовало отсутствие предела. Если бы мне надо было это доказывать то я бы в первую очередь пробовал строить две последовательности в одной из которыз точки берутся на n-й кривой "в углах" и которые на n-ой кривой лежат на прямых отрезках. А вот потом бы пытался показать, что по таким последовательностям

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f(x_n ) - f(x)}} {{x_n - x}} \]

получаются несоответствующие предположению дифференцируемости (либо пределы разные, либо еще что то "нам нужное").