ТерВер

[BapuK]

Бросают два кубика. Суммируют число очков, выпавших на верхник гранях кубиков. Построить множество элементарных исходов $\Omega$ и подмножество, соответствующее событию $A$, где $A = \{\text{сумма очков больше}\,10\}$ Найти вероятность этого события.

Собственно вопрос в чем: $\Omega = \{(i,j)| 1\leq i, j \leq 6 \}$ или же $\Omega = \{i | 2 \leq i \leq 12\}$
Склоняюсь больше к первому варианту, т.к. второй не различает, например, событий вида: $\text{выпало 2 и 3}$ и $\text{выпало 1 и 4}$

[PAV]

Для цели исследования события $A$ можно было бы использовать любой из вариантов, но первый действительно лучше и удобнее. В том числе и для нахождения вероятностей элементарных исходов. Это будет классическая схема, что само по себе удобнее, чем неклассическая вторая.

-- Пн фев 14, 2011 15:20:47 --

Только тут есть одна тонкость, которую нужно понимать: первый вариант предполагает, что кубики различимы (например, разных цветов), так что один можно назвать "первым", а другой - "вторым". Если же кубики не различимы, то эта схема формально не подходит.

[ewert]

PAV в сообщении #412868 писал(а):

Если же кубики не различимы,

Кубики различимы по определению -- их различимость означает, что оба бросания независимы. В смысле: если мы хотим, чтобы элементарные исходы были равновероятны -- использовать следует только первую конструкцию и никакую другую.

[PAV]

Кубики могут быть неразличимы, и если это указано в задаче явно, тогда использовать первую конструкцию нельзя. Равновероятность элементарных исходов самоцелью не является.

[BapuK]

формулировку задачи привел так, как есть, почему то смущает меня то, что про суммирование написано сразу после бросания обычно же как было: бросают два кубика, найти вероятность того, что сумма меньше(больше)...
Вот теперь сиди и думаю, что авторы задачи имели ввиду...
Буду надеяться, что первая схема подойдет...

[PAV]

Не напрягайтесь, все нормально. Вы все правильно делаете.

-- Пн фев 14, 2011 16:46:59 --

Просто держите в голове магическую фразу "будем считать кубики различимыми".

[BapuK]

Проверьте еще вот ети задачки:
1) Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна $p_1$, для второго - $p_2$/ В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она появилась в результате выстрела первого стрелка.
собственно ответ:

$$\frac{p_1(1-p_2)}{p_1(1-p_2) + p_2(1-p_1)}$$

в числителе вероятность того что попал первый стрелок, а второй промахнулся, в знаменателе вероятность того, что попал ровно один из стрелков.

2) В одном сосуде находятся $B_1 = 7$ белых и $C_1 = 5$ черных шаров. Во втором - $B_2=6$ белых и $C_2=9$ черных. Бросают два кубика. Если сумма очков выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 - из второго. Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10.
Решение:
$H_1$ - выпало $<10$ очков, $H_2$ - выпало $\geq 10$ очков, $A $ - вынут белый шар, тогда
$p(H_1) = \frac{5}{6}, p(H_2) = \frac{1}{6}$
$p(A|H_1) = \frac{B_1}{B_1+C_1} = \frac{7}{12}, p(A|H_2) = \frac{B_2}{B_2+C_2} = \frac{2}{5}$
Ну и тогда имеем нужную вероятность:

$$p(H_1|A)=\frac{p(H_1)p(A|H_1)}{p(H_1)p(A|H_1) + p(H_2)p(A|H_2)} = \frac{\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{12}}{\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{12} + \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{5}}=\frac{175}{199}$$

[--mS--]

Верно.

[BapuK]

Помогите еще решить следующие две задачки:
Случайная величина $X$ задана плотностью распределения вероятностей (см. график). Построить график функции распределения вероятностей.

$a = 1, b = 2, c = 2.6, d = 0.4$
Функция плотности распределения есть производная функции распределения, тогда функцию распределения ищем по формуле: $F(x) = \int_{-\infty}^xf(x)dx$
Ну тогда имеем для данного графика 4 случая:
$-\infty < x < a, F(x) = 0$
$a\leq x\leq b, F(x) = \int_{a}^x d dx = d(x - a)$
$b < x \leq c, F(x) = F(x) = \int_{-\infty}^xf(x)dx = \int_{a}^b d dx + \int_{b}^x f(x) dx = d(b - a) + \int_{b}^x f(x) dx$
$c < x < \infty, F(x) = d(b - a) + \int_b^c f(x) dx$
Вопрос заключается вот в чем: как определить значение $f(x)$ на участке $b < x < c$? Предположения такие: функция распределения в бесконечности давать $1$, после $x = c$ $F(x) = const$, тогда $f(x)$ нужно искать из условия $d(b - a) + \int_b^c f(x) dx = 1$?

и 2 задача:

Найти стационарные вероятности и стационарное мат. ожидание для марковского процесса $N$, заданного графом переходов состояний.

$l_0=m_1=m_2=m_3=1, l_2 = 2, l_3 = 3$
По этой задаче прошу помочь литературой, где можно найти подобный пример...

[--mS--]

BapuK в сообщении #413207 писал(а):

Вопрос заключается вот в чем: как определить значение $f(x)$ на участке $b < x < c$? Предположения такие: функция распределения в бесконечности давать $1$, после $x = c$ $F(x) = const$, тогда $f(x)$ нужно искать из условия $d(b - a) + \int_b^c f(x) dx = 1$?

Например, так. А почему бы с этого не начать - какими свойствами должна обладать любая плотность распределения? И зачем таскаете буквы, когда почти все числа даны?

BapuK в сообщении #413207 писал(а):

и 2 задача:
По этой задаче прошу помочь литературой, где можно найти подобный пример...

Ну, например, http://www.prepody.ru/topic12303.html...

[BapuK]

--mS-- в сообщении #413381 писал(а):

Например, так. А почему бы с этого не начать - какими свойствами должна обладать любая плотность распределения? И зачем таскаете буквы, когда почти все числа даны?

Имеется ввиду что $\int_{\mathbb{R}} f(x) dx = 1$? почему-то сразу про него не подумал А буквы я всегда таскаю, чтобы увидеть окончательный вариант формулы, а потом уже подставить :) в некоторых задачах, где все очень громоздко вычисляю сразу)

За второй пример спасибо, разберемся :)