Задачки на принцип максимума модуля

[Tuzembobel]

Здравствуйте!
Не поможете с задачками:
1) если функция $f$ голоморфна во всей $\mathbb{C}$, имеет два периода $T_1$ и $T_2$ - ненулевые, причем $\frac{T_1}{T_2}\in \mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$. Тогда $f$ тождественно равна константе на всей $\mathbb{C}$
2) Пусть $D$ - область комплексной плоскости, такая, что $\partial D$ - граница области - это кривая $\gamma(t)$ : $\gamma(t)=a+R(t)e^{it}$, $t\in [-\pi, \pi]$, причем $R(-\pi )=R(\pi )$. Граница $\gamma$ - спрямляема. Тогда для любой функции голоморфной в $D$ и непрерывной в $\overline{D}$ выполняется $\int\limits_{\partial D}f(z)dz = 0$.

Размышления к первой задаче: достаточно доказать тождественность на внутренности какого-либо круга радиуса $T_1$ или $T_2$. Если $|T_2|>|T_1|$, тогда круг радиуса $T_1$ целиком содержится в круге радиуса $T_2$ и максимум достигается или на границе круга, или на его внутренности, т.е. в любом случае на внутренности круга радиуса $T_2$. Следовательно, функция постоянна на круга радиуса $T_2$. Тогда по периодичности она тождественно на плоскости.
Аналогично, если $|T_1|<|T_2|$. А в случае $|T_1|=|T_2|$, к сожалению, не все гладко. Я геометрически доказал, но оно очень громоздкое и нерациональное.

2) Если рассмотрим последовательность функций $f_n(z):=f(a+\frac{z-a}{1-1/n})$, тогда при сопоставлении $z\to a+\frac{z-a}{1-1/n}$, наша область преобразуется в последовательность областей $D_n: \overline{D}\subset D_n$ для каждого $n$. Тогда по интегральной теореме Коши $\int\limits_{\partial D}f_n = 0$. Теперь нам остается доказать, что последовательность $f_n$ равномерно сходится на $D$ к $f$. Можем потом перейди к пределу под знаком интеграла. Равномерная сходимость не удается доказать.

Хотел бы услышать ваши мнения!

[RIP]

1) Докажите ограниченность функции $f$. Далее воспользуйтесь тем, что целая(голоморфная во всей $\mathbb{C}$) ограниченная функция является константой(теорема Лиувилля.)
2) Непрерывная на компакте функция является равномерно непрерывной(теорема Кантора)
Вот только лучше брать $1+\frac1n$, чтобы $f_n$ были определены в $\overline{D}$

[Brukvalub]

Отсутствие непостоянных целых двоякопериодических функций доказывается во многих книгах по ТФКП - например, здесь: http://lib.mexmat.ru/books/636. Переписывать доказательство не имеет смысла - почитайте в книге. Обобщения теоремы Коши также рассматриваются в большинстве учебников, но обычно используется другая идея- аппроксимация границы области лежащими в ней ломаными и оценка интеграла, поскольку Ваша идея не проходит-равномерной сходимости может и не быть.Опять же, читайте книги: http://lib.mexmat.ru/books/635 , http://lib.mexmat.ru/books/632 и т.п.

[Tuzembobel]

RIP писал(а):

1) Докажите ограниченность функции $f$. Далее воспользуйтесь тем, что целая(голоморфная во всей $\mathbb{C}$) ограниченная функция является константой(теорема Лиувилля.)
2) Непрерывная на компакте функция является равномерно непрерывной(теорема Кантора)
Вот только лучше брать $1+\frac1n$, чтобы $f_n$ были определены в $\overline{D}$

Согласен насчет $1+\frac{1}{n}$, виноват.
А для какого компакта нам необходимо доказать, если на $\overline{D}$, то функция $f$ ведь определена на $D$, а на границе может быть нет.

[RIP]

По условию $f$ непрерывна в $\overline{D}$, значит, по меньшей мере, определена в $\overline{D}$. Или я что-то не понимаю.

[Tuzembobel]

Извиняюсь, условие не заметил. Большое спасибо за помощь!

Добавлено спустя 0.001 секунды:
А не знаете, где можно прочитать о пространстах Фреше и Бергмана $=L^p(D)\cap \mathcal{A}(D)$, где $\mathcal{A}(D)$ - множество голоморфных функций в области $D$.

[Brukvalub]

Tuzembobel писал(а):

А не знаете, где можно прочитать о пространстах Фреше и Бергмана $=L^p(D)\cap \mathcal{A}(D)$, где $\mathcal{A}(D)$ - множество голоморфных функций в области $D$.

Попробуйте вот здесь: Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. — Theory of Bergman spaces.
А условие, что функция определена на границе, я и сам проморгал-обычно требуют непрерывности вплоть до границы-тогда Ваш метод не пройдет.