Хороший пример

[Gortaur]

У меня есть функция $f(x,y,\alpha,\sigma,dt)$ с тремя параметрами $(\alpha,\sigma,dt)$. По сути это многочлен четвертой степени в $(x,y)$ с коэффициентами, заданными параметрами. А именно

$$ f(x,y,...) = a_{11} x^4+a_{22} y^4 + b_{11}x^3y+b_{12}x^2y^2+b_{22}xy^3+c_1x^2+c_2y^2. $$

Мне нужно подобрать такие параметры, чтобы данная функция была отрицательно определенной (можно даже неположительно определенной). Как это сделать? Если нужно, могу привести эти коэффициенты.

[ИСН]

Звучит как слишком дофига свободы. Этак-то можно, вон, первые два коэффициента сделать по -1, остальные по 0. Нравится? Нет? Почему? Ах, нельзя ставить что угодно, между ними есть какие-то связи? А...

[Gortaur]

Намек засчитан, но связи слишком громоздкие, чтобы флудить ими тут - по крайней мере, пока. Я имел ввиду, может для столь приятной формы есть условия на группы коэффициентов $a,b,c$? Как для линий второго порядка (и да, я знаю что линии 4го уровня это что-то сложное и для них мало что сделано - но может, такие условия все же есть?)

-- Пн фев 14, 2011 18:12:22 --

Еще есть возможность сделать $a_{22} = b_{22} = 0$ - тогда только вылезет произведение $c_{12}xy$

[ИСН]

А, если эти занулить, тогда очень просто: часть, которая 4 степени, будет неположительно (или неотрицательно) определена только в том случае, когда она состоит из единственного члена типа $x^2y^2$, а вся хрень в целом - когда квадратичная часть сама по себе определена в ту же сторону.

[Gortaur]

Что значит типа $x^2y^2$?

[ИСН]

Значит - Ваше $b_{12}x^2y^2$. А $b_{11}$ и $b_{22}$ чтобы тоже занулились.

[Gortaur]

Что-то ничего не выходит. Объясню с точки зрения стохастики. Есть два процесса $x_n$ и $y_n$, заданных разностными уравнениями типа

$$ x_{n+1} - x_n = -\alpha_1 x_n + \sigma_1 x_n \xi_n, $$

$$ y_{n+1} - y_n = -\alpha_1 y_n + \sigma_1 y_n \eta_n, $$

где $\xi,\eta$ - независимые шумы. Ищу условия на $\alpha_i,\sigma_i$ чтобы функция

$$ g(x,y) = (x^2+y^2)((x-y)^2+1) $$

была супермартингалом. Выходит в итоге, что это эквивалентно той задаче, которую я описал. Причем сколько не бьюсь, супермартингала не выходит.

[alex1910]

Gortaur в сообщении #412928 писал(а):

Намек засчитан, но связи слишком громоздкие, чтобы флудить ими тут - по крайней мере, пока. Я имел ввиду, может для столь приятной формы есть условия на группы коэффициентов $a,b,c$? Как для линий второго порядка (и да, я знаю что линии 4го уровня это что-то сложное и для них мало что сделано - но может, такие условия все же есть?)

-- Пн фев 14, 2011 18:12:22 --

Еще есть возможность сделать $a_{22} = b_{22} = 0$ - тогда только вылезет произведение $c_{12}xy$

Почти уверен, что полная теория линий четвертого порядка построена уже лет двести тому назад.

[Gortaur]

Полная теория линий 4го порядка? Любопытно, дадите ссылку?

[mihiv]

Сначала имеет смысл проверить выполнение очевидных необходимых условий отрицательной определенности,например:$a_{11},a_{22},c_1,c_2<0,a_{11}+a_{22}+b_{12}+c_1+c_2<0.$

[Алексей К.]

Gortaur в сообщении #413569 писал(а):

Полная теория линий 4го порядка? Любопытно, дадите ссылку?

Я дам, но наоборот (см. также заголовок того сообщения).

[mihiv]

Необходимые и достаточные условия отрицательной определенности:
$1) a_{11},a_{22},c_1,c_2<0$;2) полином $P(t)=a_{11}t^4+b_{11}t^3+b_{12}t^2+b_{22}t+a_{22}$ или не имеет действительных корней или имеет только кратные действительные корни.