Найти длину кривой

[Sintanial]

Всем добрый вечер, помогите найти длину кривой
$x=3(t-\sin t)$
$y=3(1-\cos t)$
Необходимо найти длину всей кривой
Длина находится по формуле $s=\int\limits_a^b \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)}\, dt$
Но во первых мне не понятно, это ведь бесконечное множество кривых.... необходимо найти длину одной кривой так ? Во вторых по какой границе интегрировать ?

[mihailm]

Sintanial в сообщении #412679 писал(а):

...Во вторых по какой границе интегрировать ?

А какие есть границы то?)

почитайте че нить например
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах
в ней попроще вроде написано

[Алексей К.]

Sintanial в сообщении #412679 писал(а):

Длина находится по формуле $s=\int\limits_a^b \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)}\, dt$

Длина находится по формуле $s(t)=\int\limits_0^t \sqrt{{x'}^2(\tau) + {y'}^2(\tau)}\, d\tau$. Это при условии, что со значением $t=0$ мы ассоциируем значение $s=0$ (при том, что $s< 0$ вполне допустимо; ну это как бы "кривая абсцисса" точки).
И я убрал $z'$ --- мы ведь плоскую кривую работаем.

Sintanial в сообщении #412679 писал(а):

Но во первых мне не понятно, это ведь бесконечное множество кривых....

И мне непонятно, где Вы "бесконечное множество кривых" увидели. Одна конкретная кривая. Берём, что угодно рисуем, что угодно сосчитываем...

[Sintanial]

эммм ну а какие границы тогда брать : от 0 до $2\pi$ как я понимаю... правильно ? =)

[Алексей К.]

Sintanial в сообщении #412679 писал(а):

Необходимо найти длину всей кривой

Я ещё не посмотрел, что это за кривая (что-то до боли знакомое, на первый взгляд; циклоида?). Но ничего нам пока не запрещает выйти за пределы $[0,2\pi]$ (если уж условие задачи ничего не навязывает). Либо от Вас требуют общую формулу, либо, если это что-то вроде циклоиды, ограничиться периодом кривой и сосчитать --- да, от 0 до $2\pi$.

[Sintanial]

да, это очень похоже на циклоиду =)

[Алексей К.]

Припоминаю, длину циклоиды уже щитал на форуме. Звали её Ирина. Поиском по форуму наверняка найдётся.

-- 14 фев 2011, 00:12 --

Voilà.

[ShMaxG]

Здесь, я так понимаю, такая особенность: $\[x'\left( t \right) = y\left( t \right)\]$, и ей можно воспользоваться:
$ \[\sqrt {x{'^2}\left( t \right) + y{'^2}\left( t \right)} dt = \sqrt {{y^2}\left( t \right) + y{'^2}\left( t \right)} dt = \sqrt {1 + \frac{{{y^2}\left( t \right)}} {{y{'^2}\left( t \right)}}} dy\]$.

Теперь если сделать замену типа $\[y = A\cos \varphi \]$, то вообще все что можно исчезнет.

[Алексей К.]

Sintanial в сообщении #412679 писал(а):

$y=3(1-\cos t)$

ShMaxG в сообщении #412731 писал(а):

Теперь если сделать замену типа $\[y = A\cos \varphi \]$, ...

Чегой-то я сразу не пойму, как можно заменить одно на другое...

-- 14 фев 2011, 00:53 --

Понял! Надо тупо поспать, а потом думать.

[Sintanial]

спасибо всем огромное вроде посчитал и получилось 24 =)