После длительных раздумий...
Эту задачу лучше разбирать в одномерном случае (для начала), тогда все становится ясно
![$h(x)=f(x)/x$ $h(x)=f(x)/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/5/165892e0b48061f6799b329298c80c4a82.png)
и предел существует в силу фундаментальной теоремы анализа. Кстати, я ошибся, когда выписывал теорему Тейлора. Так как
![$f \in C^1$ $f \in C^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b73c79fbdaaff0b3367766dfa51aa982.png)
, то интегрирование по частям можно применить только один раз:
![$f(x)=\int_0^xf'(t)dt$ $f(x)=\int_0^xf'(t)dt$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d79f612ac40fad228ac5ce60239987082.png)
Теперь, мне не ясно как можно доказать в многомерном случае что
![$\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|^2}f(x)$ $\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|^2}f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/f/b7f16ed7ae773971c5800ab09df31c8082.png)
существует?
Я не знаю как формализовать ваш аргумент :
После вычитания главной линейной части окажется
![$f(\vec x)=o(|\vec x|)$ $f(\vec x)=o(|\vec x|)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/9/5d9413ebc0d732673d629b0abd31bdf482.png)
.
В многомерном случае теорема Тейлора имеет вид
![$f(x)=\int_0^1\nabla f(xt)\cdot x dt$ $f(x)=\int_0^1\nabla f(xt)\cdot x dt$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af328d24214209ef0e320329a1c6575382.png)
и не ясно о каких
![$o(|x|)$ $o(|x|)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/a/65a4a6439fe4338b9ad62b38c863e7f482.png)
идет речь
Подскажите, где моя ошибка?