Максимум второй производной...

[myra_panama]

Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на $ [0,1] , f(0)=f(1)=0$ и $\min\limits_{x \in [0,1]}f(x)=-1$. Доказать , что $\max\limits_{x \in [0,1]}f''\ge8$
Можно ли использовать формулу Тейлора????

[svv]

Решите сначала более простую задачку:
Пусть $g(x)$ дважды непрерывно дифференцируема, $g(0)=0$, $g'(0)=0$, $g''(x)<k$ на отрезке, включающем $x=0$. Доказать, что $g(x)<\frac {kx^2} 2$ на том же отрезке.

Будем считать, что доказали. Возвращаемся к исходной задаче. Пусть минимум $f(x)$ достигается в точке $a \in [0, 1]$ (не утверждается, что это единственная точка минимума).
От противного: пусть $f''(x)<8$, $x \in [0, 1]$.
Рассмотрим функцию $g(x)=f(x+a)+1$. Для нее $g(0)=0$, $g'(0)=0$, $g''(x)<8$ для $x \in [-a, 1-a]$.
По доказанному $g(x)<4x^2$ для $x \in [-a, 1-a]$, то есть $f(x)<4(x-a)^2-1$ для $x \in [0, 1]$.
Но если $0\leqslant a \leqslant 1/2$, то $f(0)<4(0-a)^2-1\leqslant 4(1/2)^2-1=0$ -- противоречие с условием $f(0)=0$.
Если же $1/2 \leqslant a \leqslant 1$, то $f(1)<4(1-a)^2-1\leqslant 4(1/2)^2-1=0$ -- противоречие с условием $f(1)=0$.

[Joker_vD]

Пожалуй, тут проще после предположения от противного разложить по Тейлору в окрестности точки $a$ и оценить сверху. А дальше да, подставлять границы отрезка.

Кстати, можно обобщить задачу: есть произвольный отрезок, произвольные значения на границах и минимальное значение внутри отрезка, оценить снизу максимум второй производной. У меня получилось

$$\max\limits_{x \in [a,b]}f''(x)\geqslant 2\frac{\frac{f(a)+f(b)}2-f(c)+2\sqrt{(f(a)-f(c))(f(b)-f(c))}}{(b-a)^2},$$

где $c \in [a,b]$ — точка, где достигается минимум. Еще можно, зная максимум функции на отрезке, оценить сверху минимум второй производной. Интересно, какой смысл имеют слагаемые в получившейся формуле? Можно ли ее как-то проинтерпретировать геометрически/механически?

[svv]

У меня немного не так:

$$\max\limits_{x \in [a,b]}f''(x)\geqslant 2\frac{f(a)+f(b)-2f(c)+2\sqrt{(f(a)-f(c))(f(b)-f(c))}}{(b-a)^2}$$

Легко проверить на примере $a=-1$, $f(a)=1$, $b=+1$, $f(b)=1$, $f(c)=0$, при этом должно быть $\max f''=\frac{d^2}{dx^2}(x^2)=2$.

Да, Ваша формула имеет простую интерпретацию. Это вторая производная параболы, проходящей через точки $(a, f(a))$, $(b, f(b))$ и имеющей минимум $f(c)$. Именно парабола имеет "минимальную максимальную вторую производную" -- в этом случае неравенство становится равенством.

Вот еще такой вид. Может быть, он хоть как-то объясняет, почему в Вашей формуле именно такие слагаемые -- если возвести в квадрат, получится Ваша форма:

$$\max\limits_{x \in [a,b]}f''(x)\geqslant 2 \left[ \frac{\sqrt{f(a)-f(c)}+\sqrt{f(b)-f(c)}}{b-a} \right]^2 $$

[Joker_vD]

Ну, я считал чуть ли не на коленке, мог где-то и ляпнуть. Спасибо за интерпретацию, я с самого начала пришел к выводу, что здесь парабола является "оптимальной" функцией, а теперь вот и подтверждение есть. Занимательная задачка, однако.

[myra_panama]

По формулу Тейлора имеем:
$f(x)=-1+\frac{f''(a+\alpha_x(x-a))}2 (x-a)^2$ $(0<\alpha_x<1)$
здесь a точка минимума 0<a<1/ потом при x=0 x=1 найти f''

(Оффтоп)

Можно ли так???

[Joker_vD]

Теперь примите, что $\max f''(x) < 8$ и оцените сверху $f(x)$. Потом вычисляйте значения в $x=0,\mquad x=1$ и выражайте $a$ — получите противоречие. Значит, $\max f''(x) \geqslant 8$.

(Оффтоп)

Да, так можно. $f\in C^2[0,1]$ и потому ее можно разложить в ряд Тейлора до члена $o(x^2)$ включительно

[ewert]

myra_panama в сообщении #412154 писал(а):

Можно ли так???

Даже нужно.

Оптимальность же параболы очевидна, например, из того, что $f(x)=-1+\int\limits_a^xdt\int\limits_a^tf''(s)\,ds$.

Joker_vD в сообщении #412165 писал(а):

$f\in C^2[0,1]$ и потому ее можно разложить в ряд Тейлора до члена $o(x^2)$ включительно[/off]

Только не в ряд Тейлора, а по формуле Тейлора. И, во-вторых, там использовалось разложение не до второй, а до первой степени включительно.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #412167 писал(а):

И, во-вторых, там использовалось разложение не до второй, а до первой степени включительно.

Т.е. остаточный член не считается?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #412212 писал(а):

Т.е. остаточный член не считается?

Остаточный член не называется членом разложения.