От нестрогого к строгому

[Gortaur]

У нас есть неравенство типа

$$ P_x(X\geq \delta) \leq \frac{f(x)}{\delta}. $$

По-моему, это выполняется и для нестрогого неравенства, а именно

$$ P_x(X>\delta) = \lim\limits_{h\downarrow 0}P_x(X\geq \delta+h)\leq\lim\limit_{h\downarrow 0}\frac{f(x)}{\delta+h} = \frac{f(x)}{\delta}. $$

Есть ли у меня ошибки?

[В.О.]

Если распределение Рх непрерывно, то конечно. А если в нем есть атомы, то распределение не будет равно пределу сверху.

[Gortaur]

Ну даже если есть там атом в $\delta$ - то ведь оценкой сверху через $\frac{f(x)}{\delta}$ можно бесконечно близко подойти к нему.

[В.О.]

Мы ничего не знаем про точность оценки сверху и куда с ее помощью мы можем подойти. Первое равенство это непрерывность распределения справа. Если непрерывности нет, то нет и равенства. Непрерывность эквивалентна отсутствию точечной меры. Для монотонной функции распределения.

[_hum_]

$\{X \geq \delta + 1/n\} \uparrow \{X \geq \delta\} \Rightarrow \lim_n P_x(X \geq \delta + 1/n) = P_x(X \geq \delta) \neq P_x(X > \delta)$.

[Gortaur]

А если так -

$$ P_x(X>\delta)\leq P_x(X\geq\delta - h)\leq \frac{f(x)}{\delta-h} $$

для всех $h>0$. Тогда

$$ P_x(X>\delta)\leq\inf\limits_{h>0}\frac{f(x)}{\delta-h} = \frac{f(x)}{\delta}. $$

Здесь тоже ошибка?

[_hum_]

Раз уж так, то почему сразу не воспользоваться монотонностью: $\{X > \delta\} \subset \{X \geq \delta\} \Rightarrow P_x(X > \delta) \leq P_x(X \geq \delta)$?

[Gortaur]

О да... туплю. Вообще нужно было задать просто вопрос, выполняется ли это для строгого или нет.