Интересная теорема

[Dirstal]

Вот придумал интересную задачку
Доказать, что $2^{p^2} -2$ делится на $p$, если оно простое
У теоремы есть изящное геометрическое доказательство, излагать которое я пока не буду
Дерзайте!

[MrDindows]

Изящнее чем Малая теорема Ферма?

[Dirstal]

Цитата:

Изящнее чем Малая теорема Ферма?

я ее обобщил

[age]

$2^{p^2} -2=2\left(2^{p^2-1}-1\right)=2\left(2^{(p-1)(p+1)}-1\right)=2\left(\left(2^{p+1}\right)^{p-1}-1\right)$
Если обозначить $2^{p+1}$ через $a$, то получим $2(a^{p-1}-1)$. А это и есть малая теорема Ферма.

[Dirstal]

Цитата:

[/url]"]$2^{p^2} -2=2\left(2^{p^2-1}-1\right)=2\left(2^{(p-1)(p+1)}-1\right)=2\left(\left(2^{p+1}\right)^{p-1}-1\right)$
Если обозначить $2^{p+1}$ через $a$, то получим $2(a^{p-1}-1)$. А это и есть малая теорема Ферма.

мда-... не знал, что можно найти простое алгебраическое решение
Браво!

[MrDindows]

Я ж про что и писал=)
Ваша задача решается в одну строчку без всяких геометрических доказательств)

[Dirstal]

но я так просто не сдамся- остался еще порох в пороховицах!
вот только что придумал- с пылу-жару
доказать, что если$n,k$-простые, то найдутся такие целые положительные $a,b$, чтобы выполнялось равенство $2^{nk}-2 =an+bk$

[Руст]

Если $(n,k)=1$, то любое число не меньше чем $(n-1)(k-1)$ представляется в виде $an+bk$ с натуральными $a,b$.

[Dirstal]

Цитата:

Если $(n,k)=1$, то любое число не меньше чем $(n-1)(k-1)$ представляется в виде $an+bk$ с натуральными $a,b$.

ух ты! опять порвали первый раз вижу эту теорему, а как она доказывается?